Номер 640, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 640, страница 251.

Условие.

640. В первенстве по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым играл по одному разу?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию задачи, каждый шахматист сыграл с каждым другим ровно один раз. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу способов выбрать 2 игроков из $n$. Такая задача решается с помощью формулы числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае для каждой партии выбирается 2 шахматиста ($k=2$) из общего числа участников $n$. Формула для нахождения количества партий будет выглядеть так: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Известно, что всего была сыграна 231 партия. Составим и решим уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 231$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $n(n-1) = 231 \cdot 2$ $n(n-1) = 462$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $n^2 - n = 462$ $n^2 - n - 462 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-462) = 1 + 1848 = 1849$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1849} = 43$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-1) + 43}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 43}{2} = \frac{44}{2} = 22$ $n_2 = \frac{-(-1) - 43}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 43}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку количество шахматистов не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -21$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственным верным решением является $n = 22$.

Ответ: 22.