Номер 638, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 638, страница 251.

Условие.

638. Решить уравнение:

1) $\frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}$

2) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{x^3 - 1}$

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}$

Найдем общий знаменатель, предварительно разложив знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Общий знаменатель дробей: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Выражение $x^2 - x + 1$ не равно нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ при условии, что $x \neq -1$:

$2(x + 1) = 1(x^2 - x + 1) + (2x - 1)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x + 2 = x^2 - x + 1 + 2x - 1$

$2x + 2 = x^2 + x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 + x - 2x - 2 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни уравнения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

2) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{x^3 - 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{30}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно (дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$).

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$30(x^2 + x + 1) - 13(x - 1)(x + 1) = (7 + 18x)(x + 1)$

Раскроем скобки, помня, что $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$30x^2 + 30x + 30 - 13(x^2 - 1) = 7x + 7 + 18x^2 + 18x$

$30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 25x + 7$

Приведем подобные члены:

$17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 + 25x - 30x + 7 - 43 = 0$

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно -36. Корни:

$x_1 = 9$, $x_2 = -4$.

Оба корня, 9 и -4, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: -4; 9.