Номер 641, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 641, страница 251.

Условие.

641. В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — искомое количество команд, участвовавших в чемпионате.По условию, каждая команда играла с каждой по одному разу. Это означает, что общее количество матчей равно числу сочетаний из $n$ команд по 2, так как для каждого матча выбирается пара команд, и порядок команд в паре не важен.Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид:$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что всего было сыграно 66 матчей. Составим уравнение, приравняв формулу к данному значению:$\frac{n(n-1)}{2} = 66$

Для нахождения $n$ решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 2:$n(n-1) = 132$

Далее можно действовать двумя способами.
1. Метод подбора. Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132. Заметим, что $11 \times 12 = 132$. Отсюда следует, что $n=12$.
2. Решение квадратного уравнения. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $an^2+bn+c=0$:$n^2 - n = 132$$n^2 - n - 132 = 0$Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$Теперь найдем корни по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$n_1 = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$$n_2 = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку количество команд ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -11$ не является решением задачи. Следовательно, в чемпионате участвовало 12 команд.

Проверка: Если команд 12, то каждая из них сыграет с 11-ю остальными. Общее число матчей будет равно $\frac{12 \cdot 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$. Результат совпадает с условием.

Ответ: 12.