Номер 639, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 639, страница 251.

Условие.

639. На межшкольном шашечном турнире было сыграно 56 партий, причём каждый игрок играл с каждым две партии (белыми и чёрными). Сколько школьников участвовало в турнире?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — количество школьников, участвовавших в турнире.

Задача состоит в том, чтобы найти число участников $n$, зная общее количество сыгранных партий и правила турнира. Согласно правилам, каждый игрок сыграл с каждым другим игроком две партии. Для нахождения $n$ можно использовать два способа.

Способ 1: Логические рассуждения

Каждый из $n$ игроков играет со всеми остальными, то есть с $(n-1)$ соперниками. С каждым из этих соперников он играет две партии (одну белыми, другую чёрными). Таким образом, каждый отдельный игрок участвует в $2 \times (n-1)$ партиях.

Если мы умножим количество игроков на количество партий, сыгранных каждым из них, то получим $n \times 2 \times (n-1)$. Однако при таком подсчёте каждая партия будет учтена дважды (например, партия между игроком А и игроком Б будет посчитана и для А, и для Б). Поэтому, чтобы найти общее количество уникальных партий, полученный результат необходимо разделить на 2.

Общее количество партий = $\frac{n \times 2 \times (n-1)}{2} = n(n-1)$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Количество уникальных пар соперников, которые можно составить из $n$ игроков, равно числу сочетаний из $n$ по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Это количество всех возможных пар игроков. Поскольку каждая пара сыграла между собой две партии, общее количество сыгранных партий равно удвоенному числу пар:

Общее количество партий = $2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.

Решение уравнения

Оба способа приводят к одной и той же формуле. Из условия задачи мы знаем, что всего было сыграно 56 партий. Составим уравнение:

$n(n-1) = 56$

Это квадратное уравнение вида $n^2 - n - 56 = 0$. Его можно решить, найдя два последовательных целых числа, произведение которых равно 56. Путем подбора или зная таблицу умножения, находим, что:

$8 \times 7 = 56$

Следовательно, $n = 8$.

Проверка: если в турнире 8 участников, то количество сыгранных партий будет $8 \times (8-1) = 8 \times 7 = 56$. Решение верное.

Ответ: 8