Номер 628, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 628, страница 250.

Условие.

Решить систему уравнений (628—629).

628. 1) $\begin{cases} 2x^2 - y = 2, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{4}{x-1} - \frac{7}{y-1} = 1, \\ \frac{3}{x+3} = \frac{2}{y}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{3}{x+5} + \frac{2}{y-3} = 2, \\ \frac{4}{x-2} = \frac{1}{y-6}. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x:

$x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - (x - 1) = 2$

$2x^2 - x + 1 = 2$

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = x - 1$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 1 = 0$.

При $x_2 = -\frac{1}{2}$, $y_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19 \\ x - y = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим x через y:

$x - y = 7 \Rightarrow x = y + 7$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Умножим уравнение на -1: $y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10$

$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения x, используя формулу $x = y + 7$:

При $y_1 = 10$, $x_1 = 10 + 7 = 17$.

При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 7 = 4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{4}{x-1} - \frac{7}{y-1} = 1 \\ \frac{3}{x+3} = \frac{2}{y} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$, $x \ne -3$, $y \ne 1$, $y \ne 0$.

Из второго уравнения, используя свойство пропорции, выразим y через x:

$3y = 2(x+3) \Rightarrow y = \frac{2x+6}{3}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{4}{x-1} - \frac{7}{\frac{2x+6}{3}-1} = 1$

$\frac{4}{x-1} - \frac{7}{\frac{2x+6-3}{3}} = 1$

$\frac{4}{x-1} - \frac{21}{2x+3} = 1$

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-1)(2x+3)$:

$4(2x+3) - 21(x-1) = (x-1)(2x+3)$

$8x + 12 - 21x + 21 = 2x^2 + 3x - 2x - 3$

$-13x + 33 = 2x^2 + x - 3$

$2x^2 + 14x - 36 = 0$

Разделим уравнение на 2: $x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -7, а произведение -18. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -9$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = \frac{2x+6}{3}$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{2(2)+6}{3} = \frac{10}{3}$.

При $x_2 = -9$, $y_2 = \frac{2(-9)+6}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.

Оба значения y удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, \frac{10}{3})$, $(-9, -4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x+5} + \frac{2}{y-3} = 2 \\ \frac{4}{x-2} = \frac{1}{y-6} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -5$, $x \ne 2$, $y \ne 3$, $y \ne 6$.

Из второго уравнения, используя свойство пропорции, выразим x через y:

$4(y-6) = x-2 \Rightarrow x = 4y - 24 + 2 \Rightarrow x = 4y - 22$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{3}{(4y-22)+5} + \frac{2}{y-3} = 2$

$\frac{3}{4y-17} + \frac{2}{y-3} = 2$

Приведем уравнение к общему знаменателю $(4y-17)(y-3)$:

$3(y-3) + 2(4y-17) = 2(4y-17)(y-3)$

$3y - 9 + 8y - 34 = 2(4y^2 - 12y - 17y + 51)$

$11y - 43 = 2(4y^2 - 29y + 51)$

$11y - 43 = 8y^2 - 58y + 102$

$8y^2 - 69y + 145 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-69)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 145 = 4761 - 4640 = 121$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{69 + \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{69 + 11}{16} = \frac{80}{16} = 5$

$y_2 = \frac{69 - \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{69 - 11}{16} = \frac{58}{16} = \frac{29}{8}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя формулу $x = 4y - 22$:

При $y_1 = 5$, $x_1 = 4(5) - 22 = 20 - 22 = -2$.

При $y_2 = \frac{29}{8}$, $x_2 = 4(\frac{29}{8}) - 22 = \frac{29}{2} - 22 = \frac{29 - 44}{2} = -\frac{15}{2}$.

Оба значения x удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-2, 5)$, $(-\frac{15}{2}, \frac{29}{8})$.