Номер 627, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 627, страница 249.

Условие.

627. На эстрадный концерт в клубе было продано на 20 000 р. билетов по одной стоимости и на 12 000 р. билетов стоимостью на 50 р. больше. Каковы цены билетов, если на концерте было 280 человек?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – стоимость первого, более дешевого, билета в рублях. Тогда $(x + 50)$ – стоимость второго, более дорогого, билета в рублях.

Пусть $n_1$ – количество проданных билетов по цене $x$, а $n_2$ – количество проданных билетов по цене $(x + 50)$.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений:

1. Общая выручка от продажи билетов первого типа: $n_1 \cdot x = 20000$.

2. Общая выручка от продажи билетов второго типа: $n_2 \cdot (x + 50) = 12000$.

3. Общее количество проданных билетов, равное числу человек на концерте: $n_1 + n_2 = 280$.

Из первого и второго уравнений выразим количество билетов $n_1$ и $n_2$ через цену $x$:

$n_1 = \frac{20000}{x}$

$n_2 = \frac{12000}{x + 50}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$\frac{20000}{x} + \frac{12000}{x + 50} = 280$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 40:

$\frac{500}{x} + \frac{300}{x + 50} = 7$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 50)$:

$\frac{500(x + 50) + 300x}{x(x + 50)} = 7$

Умножим обе части на $x(x + 50)$, учитывая, что цена билета $x$ не может быть равна 0 или -50.

$500(x + 50) + 300x = 7x(x + 50)$

Раскроем скобки в уравнении:

$500x + 25000 + 300x = 7x^2 + 350x$

Сгруппируем все члены в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$800x + 25000 = 7x^2 + 350x$

$7x^2 + 350x - 800x - 25000 = 0$

$7x^2 - 450x - 25000 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-450)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25000) = 202500 + 700000 = 902500$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-450) \pm \sqrt{902500}}{2 \cdot 7} = \frac{450 \pm 950}{14}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{450 + 950}{14} = \frac{1400}{14} = 100$

$x_2 = \frac{450 - 950}{14} = \frac{-500}{14} = -\frac{250}{7}$

Поскольку цена билета не может быть отрицательной величиной, корень $x_2$ не является решением задачи. Таким образом, цена первого, более дешевого, билета составляет 100 рублей.

Найдем цену второго билета:

$x + 50 = 100 + 50 = 150$ рублей.

Выполним проверку найденных значений. Количество билетов по цене 100 рублей: $\frac{20000}{100} = 200$ билетов. Количество билетов по цене 150 рублей: $\frac{12000}{150} = 80$ билетов. Общее количество зрителей: $200 + 80 = 280$ человек, что полностью совпадает с условием задачи.

Ответ: цены билетов — 100 рублей и 150 рублей.