Номер 625, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 625, страница 249.

Условие.

625. Поезд должен пройти $54 \text{ км}$. Пройдя $14 \text{ км}$, он был задержан у семафора на $10 \text{ мин}$. Увеличив скорость после этого на $10 \text{ км/ч}$, он прибыл на место назначения с опозданием на $2 \text{ мин}$. Определить первоначальную скорость поезда.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда.

Весь путь составляет 54 км. После того как поезд проехал 14 км, ему осталось проехать $S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Поезд был задержан на 10 минут, но прибыл с опозданием всего на 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути он наверстал $10 - 2 = 8$ минут.

Переведем 8 минут в часы: $8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$.

Время, которое поезд должен был потратить на оставшиеся 40 км, двигаясь с первоначальной скоростью $v$, равно $t_1 = \frac{40}{v}$ ч.

После задержки поезд увеличил скорость на 10 км/ч, и она стала равной $v + 10$ км/ч. Время, которое он фактически потратил на оставшиеся 40 км, равно $t_2 = \frac{40}{v+10}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения этого участка и составляет наверстанные 8 минут, то есть $\frac{2}{15}$ часа:
$t_1 - t_2 = \frac{2}{15}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v+10} = \frac{2}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{40(v+10) - 40v}{v(v+10)} = \frac{2}{15}$
$\frac{40v + 400 - 40v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$
$\frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(v^2 + 10v) = 400 \cdot 15$
$2(v^2 + 10v) = 6000$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $v = 50$.

Ответ: 50 км/ч.