Номер 619, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 619, страница 248.

Условие.

619. Упростить выражение:

1) $(x - 10) \cdot \left( \frac{x+3}{x^2 - 7x - 30} + \frac{x+4}{x^2 - 6x - 40} \right);$

2) $\left( \frac{x-1}{2x^2 + 3x - 5} - \frac{x+1}{3x^2 + 4x + 1} \right) \cdot (6x^2 + 17x + 5).$

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-10) \cdot \left(\frac{x+3}{x^2 - 7x - 30} + \frac{x+4}{x^2 - 6x - 40}\right)$

Сначала разложим на множители знаменатели дробей в скобках. Для этого решим квадратные уравнения $x^2 - 7x - 30 = 0$ и $x^2 - 6x - 40 = 0$.

Для первого уравнения $x^2 - 7x - 30 = 0$:
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $-30$, а сумма равна $7$. Это числа $10$ и $-3$.
Следовательно, $x^2 - 7x - 30 = (x-10)(x+3)$.

Для второго уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$:
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $-40$, а сумма равна $6$. Это числа $10$ и $-4$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 40 = (x-10)(x+4)$.

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$(x-10) \cdot \left(\frac{x+3}{(x-10)(x+3)} + \frac{x+4}{(x-10)(x+4)}\right)$

Сократим дроби в скобках (при условии, что $x+3 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$):

$(x-10) \cdot \left(\frac{1}{x-10} + \frac{1}{x-10}\right)$

Сложим дроби в скобках:

$(x-10) \cdot \left(\frac{1+1}{x-10}\right) = (x-10) \cdot \frac{2}{x-10}$

Сократим $(x-10)$ (при условии, что $x-10 \neq 0$):

$\frac{2(x-10)}{x-10} = 2$

Ответ: $2$

2) $\left(\frac{x-1}{2x^2 + 3x - 5} - \frac{x+1}{3x^2 + 4x + 1}\right) \cdot (6x^2 + 17x + 5)$

Разложим на множители все квадратные трехчлены.

1. $2x^2 + 3x - 5$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3+7}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-3-7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$
Следовательно, $2x^2 + 3x - 5 = 2(x-1)(x+\frac{5}{2}) = (x-1)(2x+5)$.

2. $3x^2 + 4x + 1$
Найдем корни уравнения $3x^2 + 4x + 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 = 2^2$.
$x_1 = \frac{-4+2}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-4-2}{6} = -1$
Следовательно, $3x^2 + 4x + 1 = 3(x+\frac{1}{3})(x+1) = (3x+1)(x+1)$.

3. $6x^2 + 17x + 5$
Найдем корни уравнения $6x^2 + 17x + 5 = 0$.
$D = 17^2 - 4(6)(5) = 289 - 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-17+13}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-17-13}{12} = -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}$
Следовательно, $6x^2 + 17x + 5 = 6(x+\frac{1}{3})(x+\frac{5}{2}) = 3(x+\frac{1}{3}) \cdot 2(x+\frac{5}{2}) = (3x+1)(2x+5)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$\left(\frac{x-1}{(x-1)(2x+5)} - \frac{x+1}{(3x+1)(x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

Сократим дроби в скобках:

$\left(\frac{1}{2x+5} - \frac{1}{3x+1}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(2x+5)(3x+1)$ и выполним вычитание:

$\left(\frac{3x+1}{(2x+5)(3x+1)} - \frac{2x+5}{(2x+5)(3x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\left(\frac{(3x+1)-(2x+5)}{(2x+5)(3x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\frac{3x+1-2x-5}{(2x+5)(3x+1)} \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\frac{x-4}{(2x+5)(3x+1)} \cdot (3x+1)(2x+5)$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$x-4$

Ответ: $x-4$