Номер 612, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 612, страница 248.

Условие.

612. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 3y = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = -7 \\ xy = -6 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 12 \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 200 \\ x + y = 20 \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$

7) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ y - x = 1 \end{cases}$

8) $\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases} $
Эта система является симметричной. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (1)t + (-6) = 0$
$t^2 - t - 6 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$
Следовательно, решениями системы являются пары $(x, y)$, где $x$ и $y$ принимают значения $3$ и $-2$.
Это пары $(3, -2)$ и $(-2, 3)$.
Ответ: $(3, -2)$, $(-2, 3)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 3y = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 10 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(10 - 3y)y = 3$
$10y - 3y^2 = 3$
$3y^2 - 10y + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
Если $y_2 = \frac{1}{3}$, то $x_2 = 10 - 3(\frac{1}{3}) = 10 - 1 = 9$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(1, 3)$, $(9, \frac{1}{3})$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = -7 \\ xy = -6 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 7$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(2y - 7)y = -6$
$2y^2 - 7y = -6$
$2y^2 - 7y + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3$.
Если $y_2 = \frac{3}{2}$, то $x_2 = 2(\frac{3}{2}) - 7 = 3 - 7 = -4$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(-3, 2)$, $(-4, \frac{3}{2})$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 12 \end{cases} $
Эта система является симметричной. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (-7)t + 12 = 0$
$t^2 + 7t + 12 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7+1}{2} = -3$
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-7-1}{2} = -4$
Следовательно, решениями системы являются пары $(-3, -4)$ и $(-4, -3)$.
Ответ: $(-3, -4)$, $(-4, -3)$.

5) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 200 \\ x + y = 20 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(x - y)(x + y) = 200$
Из второго уравнения мы знаем, что $x + y = 20$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$(x - y) \cdot 20 = 200$
$x - y = \frac{200}{20}$
$x - y = 10$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 10 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 20 + 10$, что дает $2x = 30$, откуда $x = 15$.
Подставим $x=15$ в уравнение $x+y=20$: $15 + y = 20$, откуда $y = 5$.
Ответ: $(15, 5)$.

6) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(x - y)(x + y) = 9$
Из второго уравнения мы знаем, что $x - y = 1$. Подставим это значение:
$1 \cdot (x + y) = 9$
$x + y = 9$
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 9 + 1$, что дает $2x = 10$, откуда $x = 5$.
Подставим $x=5$ в уравнение $x+y=9$: $5 + y = 9$, откуда $y = 4$.
Ответ: $(5, 4)$.

7) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ y - x = 1 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = x + 1$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 = 41$
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 41$
$2x^2 + 2x + 1 = 41$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
Разделим обе части на 2: $x^2 + x - 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно разложить на множители: $(x+5)(x-4) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = -5$, то $y_1 = -5 + 1 = -4$.
Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 + 1 = 5$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(-5, -4)$, $(4, 5)$.

8) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 3$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 3)^2 + y^2 = 5$
$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 5$
$2y^2 + 6y + 9 = 5$
$2y^2 + 6y + 4 = 0$
Разделим обе части на 2: $y^2 + 3y + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно разложить на множители: $(y+1)(y+2) = 0$.
Корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 3 = 2$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(2, -1)$, $(1, -2)$.