Номер 610, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 610, страница 247.

Условие.

610. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество дней, которое работала первая бригада, а $y$ — количество деревьев, которое высаживала в день вторая бригада.

Исходя из условий задачи:

• Производительность первой бригады составляет $(y + 40)$ деревьев в день.
• Первая бригада работала $x$ дней и посадила 270 деревьев.
• Вторая бригада работала на 2 дня больше, то есть $(x + 2)$ дня.
• Вторая бригада высаживала $y$ деревьев в день и посадила 250 деревьев.

На основе этих данных можно составить два уравнения. Напомним, что общее количество работы равно произведению производительности на время.

Для первой бригады: $x \cdot (y + 40) = 270$

Для второй бригады: $(x + 2) \cdot y = 250$

Получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x(y + 40) = 270 \\ y(x + 2) = 250 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = \frac{250}{x + 2}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x \left( \frac{250}{x + 2} + 40 \right) = 270$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x \left( \frac{250 + 40(x + 2)}{x + 2} \right) = 270$

$x \left( \frac{250 + 40x + 80}{x + 2} \right) = 270$

$\frac{x(40x + 330)}{x + 2} = 270$

Умножим обе части уравнения на $(x+2)$, при условии что $x \neq -2$ (что очевидно, так как $x$ - это количество дней).

$40x^2 + 330x = 270(x + 2)$

$40x^2 + 330x = 270x + 540$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$40x^2 + 330x - 270x - 540 = 0$

$40x^2 + 60x - 540 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 20:

$2x^2 + 3x - 27 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

Так как $x$ обозначает количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, нам подходит только корень $x = 3$.

Таким образом, первая бригада работала 3 дня.

Вторая бригада работала на 2 дня больше: $3 + 2 = 5$ дней.

Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада работала 5 дней.