Номер 614, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 614, страница 248.

Условие.

614. 1) $2x(x - 2) = (x + 1)^2 - 9;$

2) $5x(x - 4) = (x - 8)^2 - 65;$

3) $\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(x + 1)^2}{2} = 1;$

4) $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(x - 2)^2}{5} = 4.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $2x(x - 2) = (x + 1)^2 - 9$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим $2x$ на $(x-2)$, а в правой части воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$2x^2 - 4x = (x^2 + 2x + 1) - 9$

$2x^2 - 4x = x^2 + 2x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

$2x^2 - x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = 2$.

2) $5x(x - 4) = (x - 8)^2 - 65$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$5x^2 - 20x = (x^2 - 16x + 64) - 65$

$5x^2 - 20x = x^2 - 16x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые.

$5x^2 - x^2 - 20x + 16x + 1 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(2x - 1)^2 = 0$.

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3) $\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(x + 1)^2}{2} = 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6.

$6 \cdot \frac{(x + 2)^2}{3} - 6 \cdot \frac{(x + 1)^2}{2} = 6 \cdot 1$

$2(x + 2)^2 - 3(x + 1)^2 = 6$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы.

$2(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 + 2x + 1) = 6$

$2x^2 + 8x + 8 - 3x^2 - 6x - 3 = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$-x^2 + 2x + 5 = 6$

Перенесем 6 в левую часть.

$-x^2 + 2x + 5 - 6 = 0$

$-x^2 + 2x - 1 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть является полным квадратом разности: $(x - 1)^2 = 0$.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

4) $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(x - 2)^2}{5} = 4$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20.

$20 \cdot \frac{(x - 1)^2}{4} - 20 \cdot \frac{(x - 2)^2}{5} = 20 \cdot 4$

$5(x - 1)^2 - 4(x - 2)^2 = 80$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности.

$5(x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 - 4x + 4) = 80$

$5x^2 - 10x + 5 - 4x^2 + 16x - 16 = 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$x^2 + 6x - 11 = 80$

Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$x^2 + 6x - 11 - 80 = 0$

$x^2 + 6x - 91 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-6 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-6 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -13$.