Номер 609, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 609, страница 247.

Условие.

609. Скорость велосипедиста на первой половине пути была на $3 \text{ км/ч}$ больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в $90 \text{ км}$ он преодолел за $5,5 \text{ ч}$?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на второй половине пути. Тогда его скорость на первой половине пути была $(x+3)$ км/ч.

Весь путь составляет 90 км, значит, первая и вторая половина пути равны по 45 км каждая.

Время, затраченное на первую половину пути, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{45}{x+3}$ часа.

Время, затраченное на вторую половину пути, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{45}{x}$ часа.

Общее время в пути по условию равно 5,5 часа. Составим уравнение:

$t_1 + t_2 = 5,5$

$\frac{45}{x+3} + \frac{45}{x} = 5,5$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$ и умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq -3$ (скорость не может быть нулевой или отрицательной):

$45x + 45(x+3) = 5,5x(x+3)$

Раскроем скобки:

$45x + 45x + 135 = 5,5x^2 + 16,5x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$90x + 135 = 5,5x^2 + 16,5x$

$5,5x^2 + 16,5x - 90x - 135 = 0$

$5,5x^2 - 73,5x - 135 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$11x^2 - 147x - 270 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-147)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-270) = 21609 + 11880 = 33489$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{147 \pm \sqrt{33489}}{2 \cdot 11} = \frac{147 \pm 183}{22}$

$x_1 = \frac{147 + 183}{22} = \frac{330}{22} = 15$

$x_2 = \frac{147 - 183}{22} = \frac{-36}{22} = -\frac{18}{11}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -\frac{18}{11}$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на второй половине пути составляет 15 км/ч.

Проверим найденное решение:

Скорость на второй половине пути: 15 км/ч.

Скорость на первой половине пути: $15 + 3 = 18$ км/ч.

Время на первой половине пути: $\frac{45}{18} = 2,5$ часа.

Время на второй половине пути: $\frac{45}{15} = 3$ часа.

Общее время: $2,5 + 3 = 5,5$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.