Страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

601. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^2 - 9}{x+3}; $

2) $ \frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x+2}; $

3) $ \frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}; $

4) $ \frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 14x - 3}. $

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие.

Числитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$.

Теперь можно сократить общий множитель $(x + 3)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

После сокращения получаем $x - 3$.

Ответ: $x-3$

Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x + 2}$, разложим числитель на множители.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4)$.

Выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

Таким образом, числитель равен $x(x + 2)^2$. Подставим его в дробь: $\frac{x(x + 2)^2}{x + 2}$.

Сократим общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

После сокращения получаем $x(x + 2)$.

Ответ: $x(x+2)$

Чтобы сократить дробь $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $16x^2 - 24x + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$.

Знаменатель $4x^2 + 5x - 6$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $4x^2 + 5x - 6 = 4(x - (-2))(x - \frac{3}{4}) = 4(x+2)(x-\frac{3}{4}) = (x+2)(4x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(4x - 3)^2}{(x + 2)(4x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(4x - 3)$, при условии, что $4x - 3 \neq 0$ ($x \neq \frac{3}{4}$) и $x+2 \neq 0$ ($x \neq -2$).

В результате получаем $\frac{4x - 3}{x + 2}$.

Ответ: $\frac{4x - 3}{x + 2}$

Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 14x - 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $25x^2 + 10x + 1$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $25x^2 + 10x + 1 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = (5x + 1)^2$.

Знаменатель $5x^2 - 14x - 3$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $5x^2 - 14x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 = 16^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$. Разложение на множители: $5x^2 - 14x - 3 = 5(x - (-\frac{1}{5}))(x - 3) = 5(x+\frac{1}{5})(x-3) = (5x+1)(x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(5x + 1)^2}{(5x + 1)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(5x + 1)$, при условии, что $5x + 1 \neq 0$ ($x \neq -\frac{1}{5}$) и $x - 3 \neq 0$ ($x \neq 3$).

В результате получаем $\frac{5x + 1}{x - 3}$.

Ответ: $\frac{5x + 1}{x - 3}$

Решить уравнение (602—603).

602.

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

2) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0;$

3) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0;$

4) $5x^4 - 16x^2 + 3 = 0.$

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(x^2)^2 - 9x^2 + 20 = 0$

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 5$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$.

$t_1 = \frac{9+1}{2} = 5$.

$t_2 = \frac{9-1}{2} = 4$.

Оба корня ($5$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm2; \pm\sqrt{5}$.

2) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 11t + 18 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.

Проверим через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2}$.

$t_1 = \frac{11+7}{2} = 9$.

$t_2 = \frac{11-7}{2} = 2$.

Оба корня ($9$ и $2$) положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

2. $x^2 = t_2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm3; \pm\sqrt{2}$.

3) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($2$ и $1/2$) положительны.

Вернемся к исходной переменной:

1. $x^2 = t_1 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

2. $x^2 = t_2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) $5x^4 - 16x^2 + 3 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Тогда уравнение преобразуется в: $5t^2 - 16t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.

$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 14}{10}$.

$t_1 = \frac{16+14}{10} = \frac{30}{10} = 3$.

$t_2 = \frac{16-14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($3$ и $1/5$) положительны.

Произведем обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

2. $x^2 = t_2 = \frac{1}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{3}; \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.

603. 1) $ \frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x-2}; $

2) $ \frac{x^2}{x^2+3x} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}; $

3) $ \frac{y+3}{y^2-y} + \frac{6-y}{1-y^2} = \frac{y+5}{y+y^2}; $

4) $ \frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{4-y} = 2 - \frac{4}{y}. $

1) $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x-2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x-2 \ne 0$ и $x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 2$ и $x \ne 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{x}{x-2} - \frac{3}{x-2} + \frac{3}{x} = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых, так как у них одинаковый знаменатель:

$\frac{x-3}{x-2} + \frac{3}{x} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{x(x-3) + 3(x-2)}{x(x-2)} = 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 3x + 3x - 6}{x(x-2)} = 0$

$\frac{x^2 - 6}{x(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ.

$x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

Оба корня, $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\sqrt{6}$.

2) $\frac{x^2}{x^2 + 3x} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю. Разложим знаменатель $x^2 + 3x$ на множители: $x(x+3)$.

Условия: $x \ne 0$ и $x+3 \ne 0$, т.е. $x \ne -3$.

Преобразуем уравнение, подставив разложенный знаменатель:

$\frac{x^2}{x(x+3)} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Сократим первую дробь на $x$ (это возможно, так как $x \ne 0$ по ОДЗ):

$\frac{x}{x+3} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{x + 2 + x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

$\frac{2x+2}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$x(2x+2) = (5-x)(x+3)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 2x = 5x + 15 - x^2 - 3x$

$2x^2 + 2x = -x^2 + 2x + 15$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + x^2 + 2x - 2x - 15 = 0$

$3x^2 - 15 = 0$

$3x^2 = 15$

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Оба корня, $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

3) $\frac{y+3}{y^2-y} + \frac{6-y}{1-y^2} = \frac{y+5}{y+y^2}$

Разложим знаменатели на множители для определения ОДЗ:

$y^2-y = y(y-1)$

$1-y^2 = (1-y)(1+y) = -(y-1)(y+1)$

$y+y^2 = y(y+1)$

Знаменатели не равны нулю, значит $y \ne 0$, $y \ne 1$, $y \ne -1$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{y+3}{y(y-1)} + \frac{6-y}{-(y-1)(y+1)} = \frac{y+5}{y(y+1)}$

$\frac{y+3}{y(y-1)} - \frac{6-y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y+5}{y(y+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $y(y-1)(y+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$(y+3)(y+1) - y(6-y) = (y+5)(y-1)$

Раскроем скобки:

$(y^2 + y + 3y + 3) - (6y - y^2) = (y^2 - y + 5y - 5)$

$y^2 + 4y + 3 - 6y + y^2 = y^2 + 4y - 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y^2 - 2y + 3 = y^2 + 4y - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - y^2 - 2y - 4y + 3 + 5 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

$y_1 = 2$, $y_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1=2, y_2=4$.

4) $\frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{4-y} = 2 - \frac{4}{y}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, следовательно, $y-4 \ne 0 \implies y \ne 4$ и $y \ne 0$.

Заметим, что $4-y = -(y-4)$. Используем это для преобразования второго слагаемого:

$\frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{-(y-4)} = 2 - \frac{4}{y}$

$\frac{y+4}{y-4} + \frac{y}{y-4} = 2 - \frac{4}{y}$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{y+4+y}{y-4} = 2 - \frac{4}{y}$

$\frac{2y+4}{y-4} = \frac{2y-4}{y}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$y(2y+4) = (y-4)(2y-4)$

Раскроем скобки:

$2y^2 + 4y = 2y^2 - 4y - 8y + 16$

$2y^2 + 4y = 2y^2 - 12y + 16$

Вычтем $2y^2$ из обеих частей уравнения:

$4y = -12y + 16$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть:

$4y + 12y = 16$

$16y = 16$

$y = 1$

Корень $y=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y=1$.

604. Найти два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов равна 5.

Обозначим искомые числа через $x$ и $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему двух уравнений с двумя переменными:

1. Сумма чисел равна 3: $x + y = 3$

2. Сумма их квадратов равна 5: $x^2 + y^2 = 5$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:

$y = 3 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (3 - x)^2 = 5$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 5$

$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 6x + 9 - 5 = 0$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для его упрощения:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных корней $x$:

Если $x = 1$, то $y = 3 - 1 = 2$.

Если $x = 2$, то $y = 3 - 2 = 1$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару чисел: 1 и 2.

Выполним проверку:

Сумма чисел: $1 + 2 = 3$ (верно).

Сумма их квадратов: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ (верно).

Ответ: 1 и 2.

605. Найти два числа, разность которых равна 1, а сумма их квадратов равна $3 \frac{2}{9}$.

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:

1. Разность чисел равна 1: $x - y = 1$.

2. Сумма их квадратов равна $3\frac{2}{9}$: $x^2 + y^2 = 3\frac{2}{9}$.

Для удобства решения преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$3\frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{29}{9}$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = \frac{29}{9} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 1)^2 + y^2 = \frac{29}{9}$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = \frac{29}{9}$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 2y + 1 = \frac{29}{9}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 9:

$9(2y^2 + 2y + 1) = 29$

$18y^2 + 18y + 9 = 29$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$18y^2 + 18y + 9 - 29 = 0$

$18y^2 + 18y - 20 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$9y^2 + 9y - 10 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{441}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 + 21}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{441}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 - 21}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = y + 1$.

Случай 1:

Если $y_1 = \frac{2}{3}$, то $x_1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$.

Первая пара чисел: $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$.

Случай 2:

Если $y_2 = -\frac{5}{3}$, то $x_2 = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$.

Вторая пара чисел: $(-\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Таким образом, мы нашли две пары чисел, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: искомые числа — это $\frac{5}{3}$ и $\frac{2}{3}$, или $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{5}{3}$.

606. Одна сторона прямоугольника на 5 м больше другой, а его площадь равна 84 м$^2$. Найти стороны прямоугольника.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ м.

Согласно условию задачи, одна сторона на 5 м больше другой, значит, большая сторона равна $(x + 5)$ м.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон. По условию, площадь равна 84 м². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x + 5) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 5x = 84$

$x^2 + 5x - 84 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $x = 7$ м.

Тогда большая сторона равна $x + 5 = 7 + 5 = 12$ м.

Проверим правильность решения: $7 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 84 \text{ м}^2$. Условие выполнено.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 м и 12 м.

607. Площадь прямоугольника равна 675 $\text{см}^2$. Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 30 см меньше другой.

Пусть одна сторона прямоугольника (большая) равна $x$ см. Тогда, согласно условию, вторая сторона (меньшая) равна $(x - 30)$ см. Длина стороны должна быть положительным числом, поэтому $x > 30$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны. По условию задачи, площадь равна $675$ см². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x - 30) = 675$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 30x = 675$

$x^2 - 30x - 675 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-30) + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 60}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-(-30) - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 60}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, корень $x_2 = -15$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, большая сторона прямоугольника равна $45$ см.

Найдем вторую (меньшую) сторону:

$x - 30 = 45 - 30 = 15$ см.

Проверим полученные результаты: $45 \cdot 15 = 675$ см², что соответствует условию задачи. Разница сторон $45 - 15 = 30$ см, что также соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 45 см.

608. Скорость вертолёта Ми-6 относительно воздуха равна 300 км/ч. Расстояние в 224 км вертолёт пролетел дважды: один раз — по ветру, другой раз — против ветра. Определить скорость ветра, если на полёт против ветра вертолёт затратил на 6 мин больше, чем на полёт по ветру. (При вычислении использовать калькулятор.)

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_в$ — скорость вертолёта относительно воздуха (собственная скорость), равная $300$ км/ч; $v_с$ — искомая скорость ветра; $S$ — расстояние, которое вертолёт пролетел в одну сторону, равное $224$ км; $t_{по}$ — время полёта по ветру; $t_{против}$ — время полёта против ветра.

Когда вертолёт летит по ветру, его скорость относительно земли $v_{по}$ является суммой собственной скорости и скорости ветра: $v_{по} = v_в + v_с = 300 + v_с$.

Когда вертолёт летит против ветра, его скорость относительно земли $v_{против}$ является разностью собственной скорости и скорости ветра: $v_{против} = v_в - v_с = 300 - v_с$.

Время, затраченное на полёт, вычисляется по формуле $t = S/v$. Соответственно, время полёта по ветру $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{224}{300 + v_с}$, а время полёта против ветра $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{224}{300 - v_с}$.

Из условия известно, что полёт против ветра длился на 6 минут дольше. Переведём эту разницу во времени $\Delta t$ в часы для согласования единиц измерения: $\Delta t = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$.

Составим уравнение, отражающее это условие: $t_{против} - t_{по} = \Delta t$. Подставим выражения для времени: $\frac{224}{300 - v_с} - \frac{224}{300 + v_с} = 0.1$

Решим полученное уравнение. Вынесем общий множитель 224 за скобки: $224 \left( \frac{1}{300 - v_с} - \frac{1}{300 + v_с} \right) = 0.1$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(300 - v_с)(300 + v_с) = 300^2 - v_с^2 = 90000 - v_с^2$: $224 \left( \frac{(300 + v_с) - (300 - v_с)}{90000 - v_с^2} \right) = 0.1$ $224 \left( \frac{2v_с}{90000 - v_с^2} \right) = 0.1$ $\frac{448v_с}{90000 - v_с^2} = 0.1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(90000 - v_с^2)$: $448v_с = 0.1(90000 - v_с^2)$ $448v_с = 9000 - 0.1v_с^2$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $0.1v_с^2 + 448v_с - 9000 = 0$ Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: $v_с^2 + 4480v_с - 90000 = 0$

Решим квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 4480^2 - 4(1)(-90000) = 20070400 + 360000 = 20430400$

Теперь найдем корень из дискриминанта (используя калькулятор): $\sqrt{D} = \sqrt{20430400} = 4520$

Найдем корни уравнения: $v_{с1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4480 + 4520}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $v_{с2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4480 - 4520}{2} = \frac{-9000}{2} = -4500$

Скорость ветра не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень.

Ответ: скорость ветра равна 20 км/ч.

609. Скорость велосипедиста на первой половине пути была на $3 \text{ км/ч}$ больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в $90 \text{ км}$ он преодолел за $5,5 \text{ ч}$?

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на второй половине пути. Тогда его скорость на первой половине пути была $(x+3)$ км/ч.

Весь путь составляет 90 км, значит, первая и вторая половина пути равны по 45 км каждая.

Время, затраченное на первую половину пути, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{45}{x+3}$ часа.

Время, затраченное на вторую половину пути, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{45}{x}$ часа.

Общее время в пути по условию равно 5,5 часа. Составим уравнение:

$t_1 + t_2 = 5,5$

$\frac{45}{x+3} + \frac{45}{x} = 5,5$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$ и умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq -3$ (скорость не может быть нулевой или отрицательной):

$45x + 45(x+3) = 5,5x(x+3)$

Раскроем скобки:

$45x + 45x + 135 = 5,5x^2 + 16,5x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$90x + 135 = 5,5x^2 + 16,5x$

$5,5x^2 + 16,5x - 90x - 135 = 0$

$5,5x^2 - 73,5x - 135 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$11x^2 - 147x - 270 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-147)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-270) = 21609 + 11880 = 33489$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{147 \pm \sqrt{33489}}{2 \cdot 11} = \frac{147 \pm 183}{22}$

$x_1 = \frac{147 + 183}{22} = \frac{330}{22} = 15$

$x_2 = \frac{147 - 183}{22} = \frac{-36}{22} = -\frac{18}{11}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -\frac{18}{11}$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на второй половине пути составляет 15 км/ч.

Проверим найденное решение:

Скорость на второй половине пути: 15 км/ч.

Скорость на первой половине пути: $15 + 3 = 18$ км/ч.

Время на первой половине пути: $\frac{45}{18} = 2,5$ часа.

Время на второй половине пути: $\frac{45}{15} = 3$ часа.

Общее время: $2,5 + 3 = 5,5$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.

610. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество дней, которое работала первая бригада, а $y$ — количество деревьев, которое высаживала в день вторая бригада.

Исходя из условий задачи:

• Производительность первой бригады составляет $(y + 40)$ деревьев в день.
• Первая бригада работала $x$ дней и посадила 270 деревьев.
• Вторая бригада работала на 2 дня больше, то есть $(x + 2)$ дня.
• Вторая бригада высаживала $y$ деревьев в день и посадила 250 деревьев.

На основе этих данных можно составить два уравнения. Напомним, что общее количество работы равно произведению производительности на время.

Для первой бригады: $x \cdot (y + 40) = 270$

Для второй бригады: $(x + 2) \cdot y = 250$

Получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x(y + 40) = 270 \\ y(x + 2) = 250 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = \frac{250}{x + 2}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x \left( \frac{250}{x + 2} + 40 \right) = 270$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x \left( \frac{250 + 40(x + 2)}{x + 2} \right) = 270$

$x \left( \frac{250 + 40x + 80}{x + 2} \right) = 270$

$\frac{x(40x + 330)}{x + 2} = 270$

Умножим обе части уравнения на $(x+2)$, при условии что $x \neq -2$ (что очевидно, так как $x$ - это количество дней).

$40x^2 + 330x = 270(x + 2)$

$40x^2 + 330x = 270x + 540$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$40x^2 + 330x - 270x - 540 = 0$

$40x^2 + 60x - 540 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 20:

$2x^2 + 3x - 27 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

Так как $x$ обозначает количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, нам подходит только корень $x = 3$.

Таким образом, первая бригада работала 3 дня.

Вторая бригада работала на 2 дня больше: $3 + 2 = 5$ дней.

Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада работала 5 дней.

611. Разность двух натуральных чисел относится к их произведению как $1:24$, а сумма этих чисел относится к их разности как $5:1$. Найти эти числа.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$. Поскольку речь идет о разности, предположим, что $a > b$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел относится к их произведению как $1:24$.

Второе условие: сумма этих чисел относится к их разности как $5:1$.

Начнем решение системы со второго уравнения, так как оно проще и позволяет установить связь между переменными.

Умножим обе части уравнения на $(a-b)$:

Сгруппируем слагаемые с $a$ в правой части, а с $b$ — в левой:

Разделим обе части на 2, чтобы упростить соотношение:

Из этого соотношения выразим $a$ через $b$:

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в первое уравнение системы:

Упростим выражение в левой части. В числителе: $\frac{3}{2}b - b = \frac{1}{2}b$. В знаменателе: $(\frac{3}{2}b) \cdot b = \frac{3}{2}b^2$.

Поскольку $b$ — натуральное число, то $b \ne 0$. Мы можем сократить дробь:

Теперь уравнение выглядит так:

Отсюда следует, что знаменатели равны:

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число $a$, используя соотношение $a = \frac{3}{2}b$:

Итак, искомые числа — это 12 и 8.

Выполним проверку:
1. Отношение разности к произведению: $\frac{12-8}{12 \cdot 8} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$. Условие выполняется.
2. Отношение суммы к разности: $\frac{12+8}{12-8} = \frac{20}{4} = 5 = \frac{5}{1}$. Условие выполняется.

Ответ: 8 и 12.