Страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Решить уравнение

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{24-10x}{x^2-2x}$.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы уравнение имело смысл, знаменатели дробей не должны равняться нулю. Найдем значения $x$, которые необходимо исключить из рассмотрения.

• Из знаменателя $x-2$ следует, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
• Из знаменателя $x$ следует, что $x \neq 0$.
• Из знаменателя $x^2 - 2x$ следует, что $x^2 - 2x \neq 0$. Разложив его на множители, получаем $x(x-2) \neq 0$, что дает те же условия: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, область допустимых значений: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{24 - 10x}{x^2 - 2x}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x^2 - 2x = x(x-2)$, поэтому общий знаменатель равен $x(x-2)$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{x \cdot x(x-2)}{x-2} + \frac{3 \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(24 - 10x) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$

После сокращения (учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$), получаем:

$x \cdot x + 3(x-2) = 24 - 10x$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 3x - 6 = 24 - 10x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x + 10x - 6 - 24 = 0$

$x^2 + 13x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=13$, $c=-30$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Проверка корней

Теперь необходимо сравнить полученные корни с областью допустимых значений ($x \neq 0$, $x \neq 2$).

• Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель $x-2$ (и $x^2-2x$) обращается в ноль. Следовательно, этот корень является посторонним.
• Корень $x_2 = -15$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-15 \neq 0$ и $-15 \neq 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $-15$

6. Упростить выражение

$\left(\frac{3x-x^2}{x^2-6x+9} - \frac{10x-4x^2}{4x^2-25}\right) \cdot (2x^2-x-15).$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить действия: сначала упростить каждую дробь в скобках, затем выполнить вычитание дробей и в конце умножить полученный результат на многочлен $ (2x^2 - x - 15) $.

Начнем с первой дроби $ \frac{3x - x^2}{x^2 - 6x + 9} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ 3x - x^2 = x(3 - x) = -x(x - 3) $.
Знаменатель является полным квадратом: $ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $.
Таким образом, первая дробь равна $ \frac{-x(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{-x}{x - 3} $.

Теперь рассмотрим вторую дробь $ \frac{10x - 4x^2}{4x^2 - 25} $.
Числитель: $ 10x - 4x^2 = 2x(5 - 2x) = -2x(2x - 5) $.
Знаменатель является разностью квадратов: $ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) $.
Таким образом, вторая дробь равна $ \frac{-2x(2x - 5)}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{-2x}{2x + 5} $.

Теперь выполним вычитание в скобках, подставив упрощенные дроби:
$ \frac{-x}{x - 3} - \left(\frac{-2x}{2x + 5}\right) = \frac{-x}{x - 3} + \frac{2x}{2x + 5} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x - 3)(2x + 5) $:
$ \frac{-x(2x + 5)}{(x - 3)(2x + 5)} + \frac{2x(x - 3)}{(x - 3)(2x + 5)} = \frac{-x(2x + 5) + 2x(x - 3)}{(x - 3)(2x + 5)} $.
Упростим числитель:
$ -2x^2 - 5x + 2x^2 - 6x = -11x $.
Результат в скобках: $ \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} $.

Осталось умножить полученную дробь на многочлен $ (2x^2 - x - 15) $. Разложим этот многочлен на множители. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - x - 15 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 $.
Корни: $ x_1 = \frac{1 + \sqrt{121}}{4} = \frac{1 + 11}{4} = 3 $ и $ x_2 = \frac{1 - \sqrt{121}}{4} = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{5}{2} $.
Следовательно, $ 2x^2 - x - 15 = 2(x - 3)(x + \frac{5}{2}) = (x - 3)(2x + 5) $.

Теперь выполним финальное умножение:
$ \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} \cdot (x - 3)(2x + 5) $.
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:
$ -11x $.

Область допустимых значений исходного выражения определяется условиями $ x^2 - 6x + 9 \neq 0 $ (т.е. $ x \neq 3 $) и $ 4x^2 - 25 \neq 0 $ (т.е. $ x \neq \pm \frac{5}{2} $). На этой области упрощение корректно.

Ответ: $ -11x $

7. Два маляра, работая вместе, выполнят заказ за 6 дней. За сколько дней мог бы выполнить заказ каждый маляр, работая один, если одному из них потребовалось бы для этого на 5 дней больше, чем другому?

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть время, за которое первый маляр может выполнить всю работу в одиночку, равно $x$ дней.

Тогда, согласно условию, второму маляру потребуется на 5 дней больше, то есть $(x + 5)$ дней.

Производительность (скорость работы) первого маляра составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в день.

Производительность второго маляра составляет $\frac{1}{x+5}$ часть работы в день.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$ работы в день.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 6 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в день.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи.

Значит, время работы первого маляра составляет 10 дней.

Тогда время работы второго маляра составляет $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: один маляр мог бы выполнить заказ за 10 дней, а другой — за 15 дней.

8. Решить систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ x - y = -3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ x - y = -3; \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$.

$x = y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y - 3)^2 - (y - 3)y + y^2 = 63$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(y^2 - 6y + 9) - (y^2 - 3y) + y^2 = 63$

$y^2 - 6y + 9 - y^2 + 3y + y^2 = 63$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 3y + 9 = 63$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 3y - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = y - 3$.

При $y_1 = 9$:

$x_1 = 9 - 3 = 6$

Получаем первую пару решений: $(6, 9)$.

При $y_2 = -6$:

$x_2 = -6 - 3 = -9$

Получаем вторую пару решений: $(-9, -6)$.

Ответ: $(6, 9), (-9, -6)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (2x^2 - y^2 + 2x - y) = 2 + 4$

Приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены с $y^2$ и $y$ взаимно уничтожаются:

$3x^2 + 3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + x = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$. Подставим значения $x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 + y^2 + x + y = 2$.

Случай 1: $x = 1$

Подставляем $x=1$ в первое уравнение:

$(1)^2 + y^2 + 1 + y = 2$

$1 + y^2 + 1 + y = 2$

$y^2 + y + 2 = 2$

$y^2 + y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y+1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Таким образом, для $x=1$ мы получили две пары решений: $(1, 0)$ и $(1, -1)$.

Случай 2: $x = -2$

Подставляем $x=-2$ в первое уравнение:

$(-2)^2 + y^2 + (-2) + y = 2$

$4 + y^2 - 2 + y = 2$

$y^2 + y + 2 = 2$

$y^2 + y = 0$

Это то же самое уравнение для $y$, что и в первом случае. Его корни: $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$.

Таким образом, для $x=-2$ мы получили еще две пары решений: $(-2, 0)$ и $(-2, -1)$.

Объединив все найденные решения, получаем четыре пары чисел.

Ответ: $(1, 0), (1, -1), (-2, 0), (-2, -1)$.

9. При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 - 2ax - a + 2 = 0$

имеет один корень?

Данное уравнение $ax^2 - 2ax - a + 2 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Оно будет иметь ровно один корень в двух случаях, которые мы рассмотрим поочередно.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x - 0 + 2 = 0$

$2 = 0$

Полученное равенство является неверным, следовательно, при $a = 0$ у уравнения нет корней.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ отличен от нуля ($a \neq 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

Коэффициенты уравнения: $A = a$, $B = -2a$, $C = -a + 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 2)$

$D = 4a^2 - 4(-a^2 + 2a) = 4a^2 + 4a^2 - 8a = 8a^2 - 8a$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень:

$8a^2 - 8a = 0$

Вынесем общий множитель $8a$ за скобки:

$8a(a - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$a_1 = 0$

$a_2 = 1$

Поскольку в данном случае мы рассматриваем условие $a \neq 0$, то значение $a = 0$ исключается. Таким образом, остается единственное решение $a = 1$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы заключаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень только при $a = 1$.

Ответ: $1$.

10. Корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ являются числа $x_1$ и $x_2$. Составить уравнение, корнями которого являются числа $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $y_2 = x_2 + \frac{1}{x_1}$. Отметим, что для существования таких корней необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что эквивалентно условию $q = x_1 x_2 \neq 0$.

Новое квадратное уравнение (назовем его приведенным) будет иметь вид $y^2 + P y + Q = 0$, где $P$ и $Q$ — новые коэффициенты. По теореме Виета для нового уравнения:

$P = -(y_1 + y_2)$

$Q = y_1 \cdot y_2$

Найдем сумму новых корней $y_1 + y_2$, выразив ее через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения:

$y_1 + y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right) + \left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = (x_1 + x_2) + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Теперь подставим известные соотношения:

$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -p + \frac{-p}{q} = -p\left(1 + \frac{1}{q}\right) = -p\frac{q+1}{q}$

Следовательно, коэффициент $P = -(y_1 + y_2) = p\frac{q+1}{q}$.

Теперь найдем произведение новых корней $y_1 \cdot y_2$:

$y_1 \cdot y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right) \cdot \left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = x_1 x_2 + x_1 \cdot \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \cdot x_2 + \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_1}$

$y_1 \cdot y_2 = x_1 x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1 x_2} = x_1 x_2 + 2 + \frac{1}{x_1 x_2}$

Подставим известные соотношения:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2 + \frac{1}{q} = \frac{q^2 + 2q + 1}{q} = \frac{(q+1)^2}{q}$

Следовательно, коэффициент $Q = y_1 \cdot y_2 = \frac{(q+1)^2}{q}$.

Теперь мы можем составить новое приведенное квадратное уравнение, подставив найденные $P$ и $Q$:

$y^2 + \left(p\frac{q+1}{q}\right)y + \frac{(q+1)^2}{q} = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $q$ (мы уже установили, что $q \neq 0$):

$q y^2 + p(q+1)y + (q+1)^2 = 0$

Заменив переменную $y$ на стандартную $x$, получим искомое уравнение.

Ответ: $q x^2 + p(q+1) x + (q+1)^2 = 0$.

11. Решить уравнение

$\frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4$.

Данное уравнение:

$$ \frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4 $$

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменной. Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ встречается в уравнении несколько раз.

Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в более простом виде:

$$ \frac{t + 7}{t + 3} = t + 4 $$

Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть $x^2 + 2x + 3 \neq 0$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент ($a=1$) положителен, то выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Это значит, что ОДЗ для исходного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), и знаменатель $t + 3$ никогда не равен нулю.

Теперь решим уравнение относительно $t$. Умножим обе части уравнения на $t + 3$:

$ t + 7 = (t + 4)(t + 3) $

Раскроем скобки в правой части:

$ t + 7 = t^2 + 3t + 4t + 12 $

$ t + 7 = t^2 + 7t + 12 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2+bt+c=0$:

$ t^2 + 7t - t + 12 - 7 = 0 $

$ t^2 + 6t + 5 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни:

$ t_1 = -1 $, $ t_2 = -5 $

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -1$

$ x^2 + 2x = -1 $

$ x^2 + 2x + 1 = 0 $

Это полный квадрат:

$ (x + 1)^2 = 0 $

Отсюда получаем один корень:

$ x = -1 $

Случай 2: $t = -5$

$ x^2 + 2x = -5 $

$ x^2 + 2x + 5 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное решение исходного уравнения — это $x = -1$.

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение.

При $x=-1$:

Левая часть: $ \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 7}{(-1)^2 + 2(-1) + 3} = \frac{1 - 2 + 7}{1 - 2 + 3} = \frac{6}{2} = 3 $.

Правая часть: $ (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 $.

$3 = 3$. Корень найден верно.

Ответ: $x = -1$.

12. При делении двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке — 5. При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке — 3. Найти это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Из условий задачи следует, что $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$, так как на произведение цифр выполняется деление, и оно не может быть равно нулю.

Первое условие: При делении двузначного числа ($10a+b$) на произведение его цифр ($ab$) в частном получится 2, а в остатке — 5. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 2 \cdot ab + 5$. Также остаток должен быть меньше делителя: $ab > 5$.

Второе условие: При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке ($10b+a$), на сумму его цифр ($a+b$) в частном получается 7, а в остатке — 3. Это можно записать в виде уравнения: $10b + a = 7 \cdot (a + b) + 3$. Также остаток должен быть меньше делителя: $a+b > 3$.

Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} 10a + b = 2ab + 5 \\ 10b + a = 7(a + b) + 3 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, так как оно является линейным:
$10b + a = 7a + 7b + 3$
$10b - 7b = 7a - a + 3$
$3b = 6a + 3$
Разделив обе части на 3, выразим $b$ через $a$:
$b = 2a + 1$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы:
$10a + (2a + 1) = 2a(2a + 1) + 5$
$12a + 1 = 4a^2 + 2a + 5$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4a^2 + 2a - 12a + 5 - 1 = 0$
$4a^2 - 10a + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2a^2 - 5a + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $a$, например, через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$
Получаем два корня:
$a_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$a_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Поскольку $a$ — это цифра, она должна быть целым числом. Следовательно, подходит только корень $a = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 2a + 1$:
$b = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Таким образом, искомое число — 25.

Проверка:

1. Проверяем первое условие для числа 25. Произведение цифр: $2 \cdot 5 = 10$. При делении 25 на 10 получаем частное 2 и остаток 5 ($25 = 2 \cdot 10 + 5$). Условие $ab > 5$ ($10 > 5$) выполнено. Все верно.

2. Проверяем второе условие. Число с переставленными цифрами — 52. Сумма цифр: $2 + 5 = 7$. При делении 52 на 7 получаем частное 7 и остаток 3 ($52 = 7 \cdot 7 + 3$). Условие $a+b > 3$ ($7 > 3$) выполнено. Все верно.

Ответ: 25.

13. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ 4x^2 + 9y^2 = 5. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений введем замену переменной в первом уравнении. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение системы $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}$ можно переписать в виде:$$ t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12} $$Умножим обе части уравнения на $12t$ (так как $t \ne 0$):$$ 12t^2 + 12 = 25t $$$$ 12t^2 - 25t + 12 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$$ D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2 $$Корни уравнения:$$ t_1 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$$$ t_2 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} $$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Выразим $x = \frac{3}{4}y$ и подставим во второе уравнение системы $4x^2 + 9y^2 = 5$:$$ 4\left(\frac{3}{4}y\right)^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 4\left(\frac{9}{16}y^2\right) + 9y^2 = 5 $$$$ \frac{9}{4}y^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 9y^2 + 36y^2 = 20 \implies 45y^2 = 20 \implies y^2 = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} $$Следовательно, $y = \pm \frac{2}{3}$.

Если $y = \frac{2}{3}$, то $x = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.Если $y = -\frac{2}{3}$, то $x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.В этом случае получаем две пары решений: $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ и $(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3})$.

Случай 2. $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Выразим $x = \frac{4}{3}y$ и подставим во второе уравнение системы:$$ 4\left(\frac{4}{3}y\right)^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 4\left(\frac{16}{9}y^2\right) + 9y^2 = 5 $$$$ \frac{64}{9}y^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 64y^2 + 81y^2 = 45 \implies 145y^2 = 45 \implies y^2 = \frac{45}{145} = \frac{9}{29} $$Следовательно, $y = \pm \sqrt{\frac{9}{29}} = \pm \frac{3}{\sqrt{29}}$.

Если $y = \frac{3}{\sqrt{29}}$, то $x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{29}} = \frac{4}{\sqrt{29}}$.Если $y = -\frac{3}{\sqrt{29}}$, то $x = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{29}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{29}}$.В этом случае получаем еще две пары решений: $(\frac{4}{\sqrt{29}}; \frac{3}{\sqrt{29}})$ и $(-\frac{4}{\sqrt{29}}; -\frac{3}{\sqrt{29}})$.

Объединяем решения из обоих случаев. Для удобства записи избавимся от иррациональности в знаменателе у второй группы решений: $\frac{k}{\sqrt{29}} = \frac{k\sqrt{29}}{29}$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3})$, $(\frac{4\sqrt{29}}{29}; \frac{3\sqrt{29}}{29})$, $(-\frac{4\sqrt{29}}{29}; -\frac{3\sqrt{29}}{29})$.