Страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

687. Упростить выражение:

1) $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} + 3\sqrt{22} - \sqrt{50};$

2) $3\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{18} + \sqrt{72} - \sqrt{80};$

3) $5\sqrt{a} - 3\sqrt{4a} + 2\sqrt{9a}$, где $a > 0;$

4) $\sqrt{x^3} + \frac{1}{2}\sqrt{36x^3} - \frac{2x}{3}\sqrt{9x}$, где $x > 0.$

1) Для упрощения выражения $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} + 3\sqrt{32} - \sqrt{50}$ необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Упростим каждый член выражения:
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

Все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(6 + 6 + 12 - 5)\sqrt{2} = 19\sqrt{2}$

Ответ: $19\sqrt{2}$

2) Упростим выражение $3\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{18} + \sqrt{72} - \sqrt{80}$.

Сначала вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Подставим полученные значения в выражение:
$6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 9\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (те, что содержат $\sqrt{5}$, и те, что содержат $\sqrt{2}$):
$(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) + (9\sqrt{2} + 6\sqrt{2})$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:
$(6 - 3 - 4)\sqrt{5} + (9 + 6)\sqrt{2} = -1\sqrt{5} + 15\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - \sqrt{5}$

Ответ: $15\sqrt{2} - \sqrt{5}$

3) Упростим выражение $5\sqrt{a} - 3\sqrt{4a} + 2\sqrt{9a}$, где $a > 0$.

Упростим слагаемые, содержащие числовые множители под корнем. Условие $a > 0$ гарантирует, что подкоренные выражения неотрицательны.
$3\sqrt{4a} = 3\sqrt{4 \cdot a} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} = 3 \cdot 2\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$
$2\sqrt{9a} = 2\sqrt{9 \cdot a} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 2 \cdot 3\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$5\sqrt{a} - 6\sqrt{a} + 6\sqrt{a}$

Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{a}$:
$(5 - 6 + 6)\sqrt{a} = 5\sqrt{a}$

Ответ: $5\sqrt{a}$

4) Упростим выражение $\sqrt{x^3} + \frac{1}{2}\sqrt{36x^3} - \frac{2x}{3}\sqrt{9x}$, где $x > 0$.

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня. Так как $x > 0$, то $\sqrt{x^2} = x$.
$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
$\frac{1}{2}\sqrt{36x^3} = \frac{1}{2}\sqrt{36 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x\sqrt{x} = 3x\sqrt{x}$
$\frac{2x}{3}\sqrt{9x} = \frac{2x}{3}\sqrt{9 \cdot x} = \frac{2x}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{x} = \frac{2x}{3} \cdot 3\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$

Подставим упрощенные слагаемые в выражение:
$x\sqrt{x} + 3x\sqrt{x} - 2x\sqrt{x}$

Все слагаемые являются подобными. Вынесем общий множитель $x\sqrt{x}$ за скобки:
$(1 + 3 - 2)x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$

Ответ: $2x\sqrt{x}$

Решить уравнение (688—690).

688. 1) $3(x+1)(x+2) - (3x-4)(x+2) = 36;$

2) $2(3x-1)(2x+5) - 6(2x-1)(x+2) = 48;$

3) $\frac{5y-4}{2} = \frac{16y+1}{7};$

4) $\frac{19+3x}{8} - \frac{1-9x}{5} = 0;$

5) $\frac{x+(x-5)}{2} = 11;$

6) $\frac{2x-(3-x)}{2} = 3\frac{3}{8}.$

1) $3(x+1)(x+2) - (3x-4)(x+2) = 36$

В левой части уравнения вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x+2)(3(x+1) - (3x-4)) = 36$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$(x+2)(3x+3 - 3x+4) = 36$

Приведем подобные слагаемые во второй скобке:

$(x+2) \cdot 7 = 36$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$7x + 14 = 36$

$7x = 36 - 14$

$7x = 22$

$x = \frac{22}{7}$

$x = 3\frac{1}{7}$

Ответ: $3\frac{1}{7}$.

2) $2(3x-1)(2x+5) - 6(2x-1)(x+2) = 48$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$2(6x^2 + 15x - 2x - 5) - 6(2x^2 + 4x - x - 2) = 48$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$2(6x^2 + 13x - 5) - 6(2x^2 + 3x - 2) = 48$

Теперь умножим на коэффициенты перед скобками:

$(12x^2 + 26x - 10) - (12x^2 + 18x - 12) = 48$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$12x^2 + 26x - 10 - 12x^2 - 18x + 12 = 48$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(12x^2 - 12x^2) + (26x - 18x) + (-10 + 12) = 48$

$8x + 2 = 48$

Решим полученное линейное уравнение:

$8x = 48 - 2$

$8x = 46$

$x = \frac{46}{8} = \frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$

Ответ: $5\frac{3}{4}$.

3) $\frac{5y-4}{2} = \frac{16y+1}{7}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): произведение крайних членов равно произведению средних.

$7(5y-4) = 2(16y+1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$35y - 28 = 32y + 2$

Соберем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$35y - 32y = 2 + 28$

$3y = 30$

$y = \frac{30}{3}$

$y = 10$

Ответ: $10$.

4) $\frac{19+3x}{8} - \frac{1-9x}{5} = 0$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, изменив ее знак:

$\frac{19+3x}{8} = \frac{1-9x}{5}$

Получили пропорцию. Применим правило перекрестного умножения:

$5(19+3x) = 8(1-9x)$

Раскроем скобки:

$95 + 15x = 8 - 72x$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$15x + 72x = 8 - 95$

$87x = -87$

$x = \frac{-87}{87}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

5) $x + \frac{x-5}{2} = 11$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим каждый член уравнения на 2:

$2 \cdot x + 2 \cdot \frac{x-5}{2} = 2 \cdot 11$

$2x + x - 5 = 22$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 5 = 22$

Перенесем свободный член в правую часть:

$3x = 22 + 5$

$3x = 27$

$x = \frac{27}{3}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

6) $\frac{2x-(3-x)}{2} = 3\frac{3}{8}$

Сначала упростим левую часть и преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь.

Упростим числитель: $2x-(3-x) = 2x-3+x = 3x-3$.

Преобразуем смешанное число: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{3x-3}{2} = \frac{27}{8}$

Применим правило перекрестного умножения для пропорции:

$8(3x-3) = 2 \cdot 27$

$24x - 24 = 54$

Перенесем свободный член в правую часть:

$24x = 54 + 24$

$24x = 78$

$x = \frac{78}{24}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 6:

$x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$

Ответ: $3\frac{1}{4}$.

689. 1) $x^2 = 7$;

2) $x^2 = 11$;

3) $x^2 + 6x = 0$;

4) $x^2 + 5x = 0$;

5) $x^2 = 8x$;

6) $x^2 = 12x$.

1) $x^2 = 7$

Это неполное квадратное уравнение вида $x^2 = c$. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $7 > 0$, уравнение имеет два корня.

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.

Ответ: $\pm\sqrt{7}$

2) $x^2 = 11$

Данное уравнение решается аналогично предыдущему. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x = \pm\sqrt{11}$

Корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Ответ: $\pm\sqrt{11}$

3) $x^2 + 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 6 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -6$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

Ответ: 0; -6

4) $x^2 + 5x = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Решаем его, вынося общий множитель $x$ за скобки.

$x(x + 5) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

$x = 0$ или $x + 5 = 0$

Решая второе уравнение, получаем $x = -5$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Ответ: 0; -5

5) $x^2 = 8x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду неполного квадратного уравнения.

$x^2 - 8x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно:

$x = 0$ или $x - 8 = 0$

Из второго уравнения получаем $x = 8$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Ответ: 0; 8

6) $x^2 = 12x$

Перенесем член $12x$ в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль.

$x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x - 12) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни.

$x = 0$ или $x - 12 = 0$

Решая второе уравнение, находим $x = 12$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Ответ: 0; 12

690. 1) $1.5x - 4x^2 = 6.3x - x^2$;

2) $11y - 15 = (y + 5)(y - 3)$;

3) $3x(x + 2) = 2x(x - 2)$;

4) $\frac{1}{4}(3x^2 + 1) - \frac{40x + 3}{6} = \frac{x - 3}{12}$;

5) $\frac{y^2 - 5}{4} - \frac{15 - y^2}{5} = \frac{y^2 - 4}{3}$;

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} = \frac{1 + 1.5x^2}{5}$.

1) $1,5x - 4x^2 = 6,3x - x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1,5x - 4x^2 - 6,3x + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1,5 - 6,3)x + (-4 + 1)x^2 = 0$

$-4,8x - 3x^2 = 0$

Умножим обе части на $-1$, чтобы сменить знаки:

$3x^2 + 4,8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 4,8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x_1 = 0$

или

$3x + 4,8 = 0$

$3x = -4,8$

$x_2 = -4,8 / 3 = -1,6$

Ответ: $0; -1,6$.

2) $11y - 15 = (y + 5)(y - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(y + 5)(y - 3) = y^2 - 3y + 5y - 15 = y^2 + 2y - 15$

Уравнение принимает вид:

$11y - 15 = y^2 + 2y - 15$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = y^2 + 2y - 15 - 11y + 15$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (2 - 11)y + (-15 + 15) = 0$

$y^2 - 9y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 9) = 0$

Отсюда находим корни:

$y_1 = 0$

или

$y - 9 = 0 \implies y_2 = 9$

Ответ: $0; 9$.

3) $3x(x + 2) = 2x(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 6x = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 6x - 2x^2 + 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3 - 2)x^2 + (6 + 4)x = 0$

$x^2 + 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 10) = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

или

$x + 10 = 0 \implies x_2 = -10$

Ответ: $0; -10$.

4) $\frac{1}{4}(3x^2 + 1) - \frac{40x + 3}{6} = \frac{x - 3}{12}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(4, 6, 12) = 12. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$12 \cdot \frac{1}{4}(3x^2 + 1) - 12 \cdot \frac{40x + 3}{6} = 12 \cdot \frac{x - 3}{12}$

$3(3x^2 + 1) - 2(40x + 3) = x - 3$

Раскроем скобки:

$9x^2 + 3 - 80x - 6 = x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x^2 - 80x - 3 = x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 80x - 3 - x + 3 = 0$

$9x^2 - 81x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x - 9) = 0$

Находим корни:

$9x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$

Ответ: $0; 9$.

5) $\frac{y^2 - 5}{4} - \frac{15 - y^2}{5} = \frac{y^2 - 4}{3}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(4, 5, 3) = 60. Умножим обе части уравнения на 60:

$60 \cdot \frac{y^2 - 5}{4} - 60 \cdot \frac{15 - y^2}{5} = 60 \cdot \frac{y^2 - 4}{3}$

$15(y^2 - 5) - 12(15 - y^2) = 20(y^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$15y^2 - 75 - (180 - 12y^2) = 20y^2 - 80$

$15y^2 - 75 - 180 + 12y^2 = 20y^2 - 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$27y^2 - 255 = 20y^2 - 80$

Перенесем члены с $y^2$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$27y^2 - 20y^2 = 255 - 80$

$7y^2 = 175$

Разделим обе части на 7:

$y^2 = \frac{175}{7}$

$y^2 = 25$

Извлечем квадратный корень:

$y = \pm\sqrt{25}$

$y_1 = 5, y_2 = -5$

Ответ: $5; -5$.

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} = \frac{1 + 1,5x^2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5(2x^2 - 1) = 4(1 + 1,5x^2)$

Раскроем скобки:

$10x^2 - 5 = 4 + 6x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$10x^2 - 6x^2 = 4 + 5$

$4x^2 = 9$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x = \pm\frac{3}{2}$

$x_1 = 1,5, x_2 = -1,5$

Ответ: $1,5; -1,5$.

691. Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше другой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной, на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти стороны прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона равна $(x+2)$ см. Длина стороны фигуры должна быть положительной, поэтому $x > 0$.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение его сторон:

$S_{пр} = x(x+2) = x^2 + 2x$ см$^2$.

Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P_{пр} = 2(x + (x+2)) = 2(2x+2) = 4x+4$ см.

По условию, сторона квадрата ($a_{кв}$) на 4 см меньше периметра прямоугольника:

$a_{кв} = P_{пр} - 4 = (4x+4) - 4 = 4x$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) равна квадрату его стороны:

$S_{кв} = (a_{кв})^2 = (4x)^2 = 16x^2$ см$^2$.

В задаче сказано, что площадь прямоугольника равна площади квадрата, т.е. $S_{пр} = S_{кв}$. Составим и решим уравнение:

$x(x+2) = 16x^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x = 16x^2$

$16x^2 - x^2 - 2x = 0$

$15x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки, чтобы найти корни уравнения:

$x(15x - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$15x - 2 = 0 \implies 15x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{15}$

Поскольку $x$ - это длина стороны прямоугольника, она не может быть равна нулю ($x>0$). Следовательно, корень $x_1 = 0$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна $x = \frac{2}{15}$ см.

Найдем вторую, большую сторону:

$x+2 = \frac{2}{15} + 2 = \frac{2}{15} + \frac{30}{15} = \frac{32}{15}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{2}{15}$ см и $\frac{32}{15}$ см.

692. Прямоугольник, одна сторона которого на 8 см меньше стороны квадрата, а другая вдвое больше стороны квадрата, имеет площадь, равную площади этого квадрата. Найти стороны прямоугольника.

Пусть сторона квадрата равна $x$ см.

Согласно условию задачи, одна сторона прямоугольника на 8 см меньше стороны квадрата, значит ее длина составляет $(x - 8)$ см. Другая сторона прямоугольника вдвое больше стороны квадрата, то есть ее длина равна $2x$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = x^2$.

Площадь прямоугольника — это произведение его сторон: $S_{прямоугольника} = (x - 8) \cdot 2x$.

По условию, площади этих фигур равны. На основании этого составим и решим уравнение:
$(x - 8) \cdot 2x = x^2$
$2x^2 - 16x = x^2$
$2x^2 - x^2 - 16x = 0$
$x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 16) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.

Корень $x = 0$ не может быть решением задачи, так как длина стороны геометрической фигуры должна быть положительным числом. Более того, длина одной из сторон прямоугольника выражена как $(x - 8)$, что также накладывает ограничение: $x - 8 > 0$, то есть $x > 8$.

Следовательно, единственно верным значением является $x = 16$ см. Это длина стороны квадрата.

Теперь вычислим стороны прямоугольника:
Первая сторона: $x - 8 = 16 - 8 = 8$ см.
Вторая сторона: $2x = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 32 см.

Решить уравнение (693–696).

693.

1) $x^2 + 6x + 5 = 0$;

2) $x^2 + 3,5x - 2 = 0$;

3) $x^2 - 1,8x - 3,6 = 0$;

4) $2x^2 + 3x - 2 = 0$;

5) $4x^2 - x - 14 = 0$;

6) $x^2 - x + 3,5 = 0$.

1) $x^2 + 6x + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0$. Можно решить с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Решим через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=6, c=5$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -5$.

2) $x^2 + 3,5x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=3,5, c=-2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12,25 + 8 = 20,25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{20,25} = 4,5$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3,5 + 4,5}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5$.

$x_2 = \frac{-3,5 - 4,5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.

Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = -4$.

3) $x^2 - 1,8x - 3,6 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1,8, c=-3,6$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3,6) = 3,24 + 14,4 = 17,64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{17,64} = 4,2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1,8) + 4,2}{2 \cdot 1} = \frac{1,8 + 4,2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-1,8) - 4,2}{2 \cdot 1} = \frac{1,8 - 4,2}{2} = \frac{-2,4}{2} = -1,2$.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1,2$.

4) $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=2, b=3, c=-2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = -2$.

5) $4x^2 - x - 14 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=4, b=-1, c=-14$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 15}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 15}{8} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1,75$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1,75$.

6) $x^2 - x + 3,5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1, c=3,5$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3,5 = 1 - 14 = -13$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

694. 1) $2x^2 + x - 3 = 0;$

2) $20 + 8x - x^2 = 0;$

3) $2x^2 - 9x = 35;$

4) $(x + 5)(x - 3) = 2x - 7;$

5) $2(x - 2)(x + 2) = (x + 1.5)^2 + 4\left(x - 5\frac{1}{16}\right);$

6) $(x - 3)(x - 2) = 7x - 1.$

1) $2x^2 + x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=1$, $c=-3$.
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D$ – дискриминант.
Сначала найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x_1 = -1.5, x_2 = 1$.

2) $20 + 8x - x^2 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, умножив все члены на $-1$.
$x^2 - 8x - 20 = 0$
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-20$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-8) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-(-8) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 10$.

3) $2x^2 - 9x = 35$

Перенесем 35 в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду.
$2x^2 - 9x - 35 = 0$
Здесь $a=2$, $b=-9$, $c=-35$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 81 + 280 = 361$.
$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-9) - 19}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 19}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-(-9) + 19}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 19}{4} = \frac{28}{4} = 7$
Ответ: $x_1 = -2.5, x_2 = 7$.

4) $(x + 5)(x - 3) = 2x - 7$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.
$x^2 - 3x + 5x - 15 = 2x - 7$
$x^2 + 2x - 15 = 2x - 7$
Перенесем все члены в левую часть.
$x^2 + 2x - 2x - 15 + 7 = 0$
$x^2 - 8 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 8 в правую часть.
$x^2 = 8$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$
Ответ: $x_1 = -2\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$.

5) $2(x - 2)(x + 2) = (x + 1.5)^2 + 4(x - 5\frac{1}{16})$

Упростим обе части уравнения по отдельности.
Левая часть: используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$2(x^2 - 2^2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8$
Правая часть: раскроем скобки.
$(x + 1.5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1.5 + 1.5^2 = x^2 + 3x + 2.25$
Преобразуем смешанную дробь $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
$4(x - \frac{81}{16}) = 4x - 4 \cdot \frac{81}{16} = 4x - \frac{81}{4} = 4x - 20.25$
Теперь соберем правую часть: $(x^2 + 3x + 2.25) + (4x - 20.25) = x^2 + 7x - 18$.
Приравняем левую и правую части:
$2x^2 - 8 = x^2 + 7x - 18$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные.
$2x^2 - x^2 - 7x - 8 + 18 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

6) $(x - 3)(x - 2) = 7x - 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения.
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 7x - 1$
$x^2 - 5x + 6 = 7x - 1$
Перенесем все члены в левую часть.
$x^2 - 5x - 7x + 6 + 1 = 0$
$x^2 - 12x + 7 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-12$, $c=7$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 144 - 28 = 116$.
$\sqrt{D} = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$.
Найдем корни по формуле:
$x = \frac{-(-12) \pm 2\sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 2\sqrt{29}}{2} = 6 \pm \sqrt{29}$
$x_1 = 6 - \sqrt{29}$
$x_2 = 6 + \sqrt{29}$
Ответ: $x_1 = 6 - \sqrt{29}, x_2 = 6 + \sqrt{29}$.