Страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

745. Скорость моторной лодки по течению реки равна 23 км/ч, а против течения — 17 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

Для решения задачи введем переменные: пусть $v_с$ — собственная скорость моторной лодки (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость лодки по течению реки является суммой ее собственной скорости и скорости течения ($v_с + v_т$), а скорость против течения — разностью этих скоростей ($v_с - v_т$).

На основе данных из условия задачи составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_с + v_т = 23 \\ v_с - v_т = 17 \end{cases}$

Решим эту систему, чтобы найти искомые скорости.

Найти скорость течения

Чтобы найти скорость течения, вычтем второе уравнение системы из первого. Это позволит нам исключить переменную $v_с$ (собственную скорость лодки):

$(v_с + v_т) - (v_с - v_т) = 23 - 17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$v_с + v_т - v_с + v_т = 6$

$2 \cdot v_т = 6$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $v_т$:

$v_т = \frac{6}{2} = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость течения равна 3 км/ч.

Найти собственную скорость лодки

Чтобы найти собственную скорость лодки, сложим первое и второе уравнения системы. Это позволит нам исключить переменную $v_т$ (скорость течения):

$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 23 + 17$

Упростим выражение:

$2 \cdot v_с = 40$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $v_с$:

$v_с = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Для проверки можно подставить найденное ранее значение $v_т = 3$ км/ч в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$v_с + 3 = 23 \implies v_с = 23 - 3 = 20$ км/ч.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Собственная скорость лодки равна 20 км/ч.

746. Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 400 р., другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил 320 р. Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — цена одного блокнота в рублях, а $y$ — цена одной тетради в рублях.

Исходя из условия, что за 3 блокнота и 2 тетради ученик уплатил 400 рублей, мы можем составить первое уравнение:
$3x + 2y = 400$

Из условия, что другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил 320 рублей, составим второе уравнение:
$2x + 4y = 320$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 400 \\ 2x + 4y = 320 \end{cases} $$

Для удобства решения, можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 2:
$(2x + 4y) \div 2 = 320 \div 2$
$x + 2y = 160$

Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 400 \\ x + 2y = 160 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$ и найти $x$:
$(3x + 2y) - (x + 2y) = 400 - 160$
$3x - x = 240$
$2x = 240$
$x = 240 \div 2$
$x = 120$

Итак, цена одного блокнота составляет 120 рублей.

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Удобнее всего использовать упрощенное второе уравнение $x + 2y = 160$:
$120 + 2y = 160$
$2y = 160 - 120$
$2y = 40$
$y = 40 \div 2$
$y = 20$

Следовательно, цена одной тетради составляет 20 рублей.

Проверка:
Первый ученик: $3 \times 120 \text{ р.} + 2 \times 20 \text{ р.} = 360 \text{ р.} + 40 \text{ р.} = 400 \text{ р.}$ (Верно)
Второй ученик: $2 \times 120 \text{ р.} + 4 \times 20 \text{ р.} = 240 \text{ р.} + 80 \text{ р.} = 320 \text{ р.}$ (Верно)

Ответ: блокнот стоил 120 рублей, а тетрадь стоила 20 рублей.

747. Для отправки груза было подано несколько вагонов. Если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогруженными; если же грузить по 16,5 т в вагон, то для полной загрузки не хватит 8 т груза. Сколько было подано вагонов и сколько было тонн груза?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество поданных вагонов через $x$, а общую массу груза в тоннах — через $y$.

Из первого условия известно, что если грузить по 15,5 тонн в каждый вагон, то 4 тонны груза останутся. Это можно выразить следующим уравнением:

$y = 15.5 \cdot x + 4$

Из второго условия известно, что если грузить по 16,5 тонн в вагон, то для полной загрузки всех вагонов не хватит 8 тонн груза. Это означает, что общая масса груза на 8 тонн меньше, чем полная вместимость всех вагонов при такой загрузке. Это можно выразить вторым уравнением:

$y = 16.5 \cdot x - 8$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество вагонов $x$:

$15.5x + 4 = 16.5x - 8$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4 + 8 = 16.5x - 15.5x$

$12 = (16.5 - 15.5)x$

$12 = 1 \cdot x$

$x = 12$

Итак, было подано 12 вагонов.

Теперь, зная количество вагонов, мы можем найти общую массу груза $y$, подставив значение $x=12$ в любое из двух первоначальных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$y = 15.5 \cdot 12 + 4$

$y = 186 + 4$

$y = 190$

Таким образом, общая масса груза составляла 190 тонн.

Ответ: было подано 12 вагонов, масса груза составляла 190 тонн.

748. В техникуме для проведения вступительного экзамена было заготовлено 750 листов бумаги. Но так как поступающих оказалось на 45 человек больше, чем предполагалось, то, хотя и добавили ещё 30 листов, каждый получил на один лист меньше. Сколько листов было заготовлено на каждого поступающего первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначально предполагавшееся количество поступающих, а $y$ — количество листов бумаги, которое планировалось выделить на каждого из них.

По условию, всего было заготовлено 750 листов бумаги. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x \cdot y = 750$

Далее, из условия известно, что количество поступающих оказалось на 45 человек больше, то есть их стало $x + 45$.

Общее количество листов бумаги также изменилось: к исходным 750 добавили еще 30, и всего стало $750 + 30 = 780$ листов.

При этом каждый поступающий получил на один лист меньше, чем планировалось, то есть $y - 1$.

На основе этих данных составим второе уравнение, описывающее фактическое распределение бумаги:

$(x + 45)(y - 1) = 780$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x \cdot y = 750 \\ (x + 45)(y - 1) = 780 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{750}{y}$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(\frac{750}{y} + 45)(y - 1) = 780$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{750}{y} \cdot y - \frac{750}{y} \cdot 1 + 45 \cdot y - 45 \cdot 1 = 780$

$750 - \frac{750}{y} + 45y - 45 = 780$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$705 - \frac{750}{y} + 45y = 780$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$45y - \frac{750}{y} + 705 - 780 = 0$

$45y - \frac{750}{y} - 75 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что очевидно, так как это количество листов):

$45y^2 - 750 - 75y = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

$45y^2 - 75y - 750 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты делятся на 15. Разделим обе части уравнения на 15 для упрощения:

$3y^2 - 5y - 50 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-50) = 25 + 600 = 625$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 25}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 25}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Поскольку $y$ представляет собой количество листов бумаги, это значение не может быть отрицательным. Таким образом, единственным решением, имеющим смысл в контексте задачи, является $y = 5$.

Это означает, что первоначально на каждого поступающего было заготовлено 5 листов бумаги.

Проверка:
1. Первоначальное количество поступающих: $x = 750 / y = 750 / 5 = 150$ человек.
2. Фактическое количество поступающих: $150 + 45 = 195$ человек.
3. Фактическое количество листов: $750 + 30 = 780$ листов.
4. Количество листов на одного человека по факту: $780 / 195 = 4$ листа.
5. Разница в количестве листов: $5 - 4 = 1$ лист.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 5 листов.

749. При испытании двух двигателей было установлено, что расход бензина при работе первого двигателя составил 450 г, а при работе второго — 288 г, причём второй двигатель работал на 3 ч меньше и расходовал бензина в час на 6 г меньше. Сколько граммов бензина расходует в час каждый двигатель?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ г/ч — расход бензина первого двигателя. Согласно условию, второй двигатель расходовал на 6 г/ч меньше, следовательно, его расход составляет $(x-6)$ г/ч.

Общий расход бензина связан с часовым расходом и временем работы по формуле: Общий расход = Часовой расход × Время. Отсюда можно выразить время работы для каждого двигателя:

• Время работы первого двигателя: $t_1 = \frac{450}{x}$ ч.
• Время работы второго двигателя: $t_2 = \frac{288}{x-6}$ ч.

Известно, что второй двигатель работал на 3 часа меньше, чем первый. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{450}{x} - \frac{288}{x-6} = 3$

Для решения этого уравнения необходимо учесть, что знаменатели не могут быть равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 6$. Кроме того, так как расход бензина — величина положительная, $x > 0$ и $x-6 > 0$, что означает $x > 6$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-6)$ и умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$450(x-6) - 288x = 3x(x-6)$

Раскроем скобки:

$450x - 2700 - 288x = 3x^2 - 18x$

Соберем все члены уравнения в одной части:

$3x^2 - 18x - 450x + 288x + 2700 = 0$

$3x^2 - 180x + 2700 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 60x + 900 = 0$

Полученное квадратное уравнение является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-30)^2 = 0$

Отсюда находим единственное решение:

$x - 30 = 0 \implies x = 30$

Найденное значение $x=30$ удовлетворяет условию $x > 6$. Следовательно, расход бензина первого двигателя составляет 30 г/ч.

Теперь найдем расход бензина второго двигателя:

$x - 6 = 30 - 6 = 24$ г/ч.

Ответ: первый двигатель расходует 30 г бензина в час, а второй — 24 г в час.

750. (Индусская задача «Стая обезьян»)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радости двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в стае?

Это классическая задача, которая сводится к решению квадратного уравнения. Давайте обозначим общее количество обезьян в стае за $x$.

Согласно тексту задачи, стая была разделена на две части:

1. Первая часть — это «часть восьмая их в квадрате». Математически это выражается как $(\frac{x}{8})^2$.
2. Вторая часть — это 12 обезьян, которые «криком радости воздух свежий оглашали».

Сумма этих двух частей равна общему количеству обезьян в стае. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$(\frac{x}{8})^2 + 12 = x$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Возведем в квадрат дробь в левой части уравнения:

$\frac{x^2}{64} + 12 = x$

2. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:

$64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12 = 64 \cdot x$

$x^2 + 768 = 64x$

3. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

4. Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

5. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два возможных ответа: 48 и 16. Оба числа являются целыми и положительными, что допустимо для количества обезьян. Также оба числа делятся на 8, что необходимо по условию (чтобы «часть восьмая» была целым числом обезьян). Проверим оба варианта:

• Проверка для 48 обезьян:
  Первая группа: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$ обезьян.
  Вторая группа: 12 обезьян.
  Общее количество: $36 + 12 = 48$. Решение верное.
• Проверка для 16 обезьян:
  Первая группа: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$ обезьяны.
  Вторая группа: 12 обезьян.
  Общее количество: $4 + 12 = 16$. Решение также верное.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: в стае могло быть 16 или 48 обезьян.

Выполнить действия (751–753).

751. 1) $(m^2 + \frac{1}{m^2} + 2) : (m + \frac{1}{m}) - \frac{m^3}{m^2 - 1};$

2) $\frac{x^2 + y^2}{x} : (x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2) - \frac{1}{x^2y^2}.$

1) $\left( m^2 + \frac{1}{m^2} + 2 \right) : \left( m + \frac{1}{m} \right) - \frac{m^3}{m^2 - 1}$

Решим по действиям. Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что это полный квадрат суммы, так как $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.

$m^2 + \frac{1}{m^2} + 2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m} + \left(\frac{1}{m}\right)^2 = \left(m + \frac{1}{m}\right)^2$

Теперь выполним деление:

$\left(m^2 + \frac{1}{m^2} + 2\right) : \left(m + \frac{1}{m}\right) = \left(m + \frac{1}{m}\right)^2 : \left(m + \frac{1}{m}\right) = m + \frac{1}{m}$

После выполнения первого действия выражение принимает вид:

$\left(m + \frac{1}{m}\right) - \frac{m^3}{m^2 - 1}$

Приведем выражение к общему знаменателю. Сначала преобразуем первое слагаемое:

$m + \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m}{m} + \frac{1}{m} = \frac{m^2 + 1}{m}$

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $m(m^2 - 1)$:

$\frac{m^2 + 1}{m} - \frac{m^3}{m^2 - 1} = \frac{(m^2 + 1)(m^2 - 1)}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^3 \cdot m}{m(m^2 - 1)}$

В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, а во второй дроби перемножим степени:

$\frac{(m^2)^2 - 1^2}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{m^4 - 1}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{m^4 - 1 - m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{-1}{m(m^2 - 1)}$

Ответ: $-\frac{1}{m(m^2-1)}$

2) $\frac{x^2 + y^2}{x} : \left( x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2 \right) - \frac{1}{x^2y^2}$

Решим по действиям. Сначала упростим выражение в скобках (делитель), приведя все слагаемые к общему знаменателю $x$:

$x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2 = \frac{x^3 \cdot x}{x} + \frac{y^4}{x} + \frac{2xy^2 \cdot x}{x} = \frac{x^4 + y^4 + 2x^2y^2}{x}$

Числитель $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом суммы $(x^2+y^2)^2$:

$\frac{x^4 + 2x^2y^2 + y^4}{x} = \frac{(x^2 + y^2)^2}{x}$

Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{x^2 + y^2}{x} : \frac{(x^2 + y^2)^2}{x} = \frac{x^2 + y^2}{x} \cdot \frac{x}{(x^2 + y^2)^2}$

Сокращаем общие множители $x$ и $(x^2+y^2)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 + y^2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{1}{x^2 + y^2} - \frac{1}{x^2y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2(x^2 + y^2)$:

$\frac{1 \cdot x^2y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2 + y^2)}{x^2y^2(x^2 + y^2)} = \frac{x^2y^2 - (x^2 + y^2)}{x^2y^2(x^2 + y^2)} = \frac{x^2y^2 - x^2 - y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)}$

Ответ: $\frac{x^2y^2 - x^2 - y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)}$