Номер 751, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 751, страница 268.

Условие.

Выполнить действия (751–753).

751. 1) $(m^2 + \frac{1}{m^2} + 2) : (m + \frac{1}{m}) - \frac{m^3}{m^2 - 1};$

2) $\frac{x^2 + y^2}{x} : (x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2) - \frac{1}{x^2y^2}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) $\left( m^2 + \frac{1}{m^2} + 2 \right) : \left( m + \frac{1}{m} \right) - \frac{m^3}{m^2 - 1}$

Решим по действиям. Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что это полный квадрат суммы, так как $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.

$m^2 + \frac{1}{m^2} + 2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m} + \left(\frac{1}{m}\right)^2 = \left(m + \frac{1}{m}\right)^2$

Теперь выполним деление:

$\left(m^2 + \frac{1}{m^2} + 2\right) : \left(m + \frac{1}{m}\right) = \left(m + \frac{1}{m}\right)^2 : \left(m + \frac{1}{m}\right) = m + \frac{1}{m}$

После выполнения первого действия выражение принимает вид:

$\left(m + \frac{1}{m}\right) - \frac{m^3}{m^2 - 1}$

Приведем выражение к общему знаменателю. Сначала преобразуем первое слагаемое:

$m + \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m}{m} + \frac{1}{m} = \frac{m^2 + 1}{m}$

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $m(m^2 - 1)$:

$\frac{m^2 + 1}{m} - \frac{m^3}{m^2 - 1} = \frac{(m^2 + 1)(m^2 - 1)}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^3 \cdot m}{m(m^2 - 1)}$

В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, а во второй дроби перемножим степени:

$\frac{(m^2)^2 - 1^2}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{m^4 - 1}{m(m^2 - 1)} - \frac{m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{m^4 - 1 - m^4}{m(m^2 - 1)} = \frac{-1}{m(m^2 - 1)}$

Ответ: $-\frac{1}{m(m^2-1)}$

2) $\frac{x^2 + y^2}{x} : \left( x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2 \right) - \frac{1}{x^2y^2}$

Решим по действиям. Сначала упростим выражение в скобках (делитель), приведя все слагаемые к общему знаменателю $x$:

$x^3 + \frac{y^4}{x} + 2xy^2 = \frac{x^3 \cdot x}{x} + \frac{y^4}{x} + \frac{2xy^2 \cdot x}{x} = \frac{x^4 + y^4 + 2x^2y^2}{x}$

Числитель $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом суммы $(x^2+y^2)^2$:

$\frac{x^4 + 2x^2y^2 + y^4}{x} = \frac{(x^2 + y^2)^2}{x}$

Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{x^2 + y^2}{x} : \frac{(x^2 + y^2)^2}{x} = \frac{x^2 + y^2}{x} \cdot \frac{x}{(x^2 + y^2)^2}$

Сокращаем общие множители $x$ и $(x^2+y^2)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 + y^2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{1}{x^2 + y^2} - \frac{1}{x^2y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2(x^2 + y^2)$:

$\frac{1 \cdot x^2y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2 + y^2)}{x^2y^2(x^2 + y^2)} = \frac{x^2y^2 - (x^2 + y^2)}{x^2y^2(x^2 + y^2)} = \frac{x^2y^2 - x^2 - y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)}$

Ответ: $\frac{x^2y^2 - x^2 - y^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)}$