Номер 754, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 754, страница 269.

Условие.

754. Построить график функции:

1) $y = \sqrt{x^2}$;

2) $y = |x - 1|$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$;

4) $y = \sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{(x + 1)^2}$;

5) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x + 2|$.

Решение 4.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2}$.
Основное свойство арифметического квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Применяя это тождество, мы можем упростить данную функцию: $y = \sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции "модуль $x$".
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат (0, 0):
1. При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x$. Это биссектриса I координатного угла.
2. При $x < 0$, модуль раскрывается как $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x$. Это биссектриса II координатного угла.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y = |x|$. Он представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), ветви которой являются лучами $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

2) Рассмотрим функцию $y = |x-1|$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = |x|$ (рассмотренного в пункте 1) с помощью геометрических преобразований. Преобразование вида $f(x) \to f(x-c)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ - влево.
В нашем случае $c=1$, поэтому график функции $y = |x|$ нужно сдвинуть на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" переместится из точки (0, 0) в точку (1, 0).
Алгебраически, раскрывая модуль:
1. Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $y = x-1$.
2. Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$, то $y = -(x-1) = 1-x$.

Ответ: График функции $y = |x-1|$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 1 единицу вправо. Вершина графика находится в точке (1, 0).

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.
Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.
Тогда функцию можно переписать: $y = \sqrt{(x-3)^2}$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x-3|$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика перемещается в точку (3, 0).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ совпадает с графиком функции $y = |x-3|$. Это "галочка" с вершиной в точке (3, 0).

4) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x+1)^2}$.
Упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = |x-1| + |x+1|$.
Для построения графика раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=1$ и $x=-1$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x \ge 1$: оба подмодульных выражения неотрицательны. $y = (x-1) + (x+1) = 2x$.
2. При $-1 \le x < 1$: $x-1$ отрицательно, а $x+1$ неотрицательно. $y = -(x-1) + (x+1) = -x+1+x+1 = 2$.
3. При $x < -1$: оба подмодульных выражения отрицательны. $y = -(x-1) - (x+1) = -x+1-x-1 = -2x$.
Таким образом, график состоит из трех частей:
- луч $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, -1)$, заканчивающийся в точке $(-1, 2)$;
- горизонтальный отрезок $y = 2$ на промежутке $[-1, 1]$, соединяющий точки $(-1, 2)$ и $(1, 2)$;
- луч $y = 2x$ на промежутке $[1, +\infty)$, начинающийся в точке $(1, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ при $x < -1$, отрезка $y = 2$ при $-1 \le x \le 1$, и луча $y = 2x$ при $x > 1$.

5) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x+2|$.
Выражение под корнем $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Упростим функцию: $y = \sqrt{(x-2)^2} + |x+2| = |x-2| + |x+2|$.
Для построения графика раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=2$ и $x=-2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x \ge 2$: оба подмодульных выражения неотрицательны. $y = (x-2) + (x+2) = 2x$.
2. При $-2 \le x < 2$: $x-2$ отрицательно, а $x+2$ неотрицательно. $y = -(x-2) + (x+2) = -x+2+x+2 = 4$.
3. При $x < -2$: оба подмодульных выражения отрицательны. $y = -(x-2) - (x+2) = -x+2-x-2 = -2x$.
График состоит из трех частей:
- луч $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, -2)$, заканчивающийся в точке $(-2, 4)$;
- горизонтальный отрезок $y = 4$ на промежутке $[-2, 2]$, соединяющий точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$;
- луч $y = 2x$ на промежутке $[2, +\infty)$, начинающийся в точке $(2, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ при $x < -2$, отрезка $y = 4$ при $-2 \le x \le 2$, и луча $y = 2x$ при $x > 2$.