Номер 757, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 757, страница 269.

Условие.

757. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ удовлетворяют условию $x_1^2 + x_2^2 = 18$. Найти $r$.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 18, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 18$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем уравнении $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ коэффициенты $p$ и $q$ равны: $p = -2r$ и $q = -7r^2$.
Следовательно, по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2r) = 2r$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7r^2$

Теперь преобразуем данное в условии выражение $x_1^2 + x_2^2$, выразив его через сумму и произведение корней. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, откуда следует:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество выражения, полученные по теореме Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (2r)^2 - 2(-7r^2) = 4r^2 + 14r^2 = 18r^2$

Так как по условию $x_1^2 + x_2^2 = 18$, мы можем составить уравнение относительно $r$:

$18r^2 = 18$

Решим это уравнение:

$r^2 = 1$

$r = \pm\sqrt{1}$

Получаем два возможных значения для $r$: $r_1 = 1$ и $r_2 = -1$.

Убедимся, что при этих значениях $r$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = (-2r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7r^2) = 4r^2 + 28r^2 = 32r^2$

Так как $r^2$ всегда неотрицательно, то и $D = 32r^2 \ge 0$ для любого действительного $r$. При $r = 1$ и $r = -1$ дискриминант $D = 32(1)^2 = 32 > 0$, что подтверждает наличие двух различных действительных корней.

Ответ: $r = 1$ или $r = -1$.