Номер 759, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 759, страница 269.

Условие.

759. Не вычисляя корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 8 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

3) $x_1^4 x_2 + x_2^4 x_1$;

4) $x_1^4 + x_2^4$.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $2x^2 + 7x - 8 = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=7$, $c=-8$.

Следовательно, по теореме Виета находим сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения, не вычисляя сами корни.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Чтобы найти сумму этих дробей, приведем их к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-7/2}{-4} = \frac{7}{2 \cdot 4} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

2) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Чтобы найти $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Вычислим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (-\frac{7}{2})^2 - 2 \cdot (-4) = \frac{49}{4} + 8 = \frac{49}{4} + \frac{32}{4} = \frac{81}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{81/4}{-4} = -\frac{81}{16}$

Ответ: $-\frac{81}{16}$

3) $x_1^4x_2 + x_2^4x_1$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:

$x_1^4x_2 + x_2^4x_1 = x_1 x_2 (x_1^3 + x_2^3)$

Чтобы найти $x_1^3 + x_2^3$, воспользуемся формулой куба суммы: $(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$. Отсюда $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$.

Вычислим $x_1^3 + x_2^3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-\frac{7}{2})^3 - 3 \cdot (-4) \cdot (-\frac{7}{2}) = -\frac{343}{8} - 3 \cdot (14) = -\frac{343}{8} - 42 = -\frac{343}{8} - \frac{336}{8} = -\frac{679}{8}$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$x_1 x_2 (x_1^3 + x_2^3) = -4 \cdot (-\frac{679}{8}) = \frac{4 \cdot 679}{8} = \frac{679}{2}$

Ответ: $\frac{679}{2}$

4) $x_1^4 + x_2^4$

Представим $x_1^4 + x_2^4$ как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$. Используя ту же логику, что и в пункте 2, получаем:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2$

Из пункта 2) мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = \frac{81}{4}$.

Подставим известные значения:

$x_1^4 + x_2^4 = (\frac{81}{4})^2 - 2(-4)^2 = \frac{6561}{16} - 2 \cdot 16 = \frac{6561}{16} - 32 = \frac{6561 - 32 \cdot 16}{16} = \frac{6561 - 512}{16} = \frac{6049}{16}$

Ответ: $\frac{6049}{16}$