Номер 765, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 765, страница 270.

Условие.

765. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идёт с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

Решение 4.

Для решения этой задачи примем всю длину эскалатора за 1 (одну условную единицу). Введем скорости, измеряя их в долях эскалатора в секунду.
Пусть $v_п$ – это скорость пассажира относительно эскалатора, а $v_э$ – скорость самого эскалатора.

1. Пассажир идет по движущемуся эскалатору.
Когда пассажир спускается по движущемуся эскалатору, его скорость складывается со скоростью эскалатора. Общая скорость равна $v_п + v_э$.
Весь путь (1) он проходит за 24 секунды. Значит, их суммарная скорость:
$v_п + v_э = \frac{1}{24}$ эскалатора/с.

2. Пассажир идет по неподвижному эскалатору.
В этом случае скорость эскалатора равна нулю, и пассажир движется только за счет своей скорости $v_п$.
Он проходит весь путь (1) за 42 секунды. Следовательно, его собственная скорость:
$v_п = \frac{1}{42}$ эскалатора/с.

3. Находим скорость эскалатора.
Теперь мы можем найти скорость эскалатора, вычтя скорость пассажира из их суммарной скорости:
$v_э = (v_п + v_э) - v_п = \frac{1}{24} - \frac{1}{42}$.
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 24 и 42 это 168.
$v_э = \frac{7}{168} - \frac{4}{168} = \frac{3}{168} = \frac{1}{56}$ эскалатора/с.

4. Находим время спуска, стоя на эскалаторе.
Вопрос задачи — найти время, за которое пассажир спустится, если будет просто стоять на движущемся эскалаторе. В этом случае он будет двигаться со скоростью эскалатора $v_э$.
Время $t$ находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S=1$ (вся длина эскалатора), а $v = v_э$.
$t = \frac{1}{v_э} = \frac{1}{1/56} = 56$ секунд.

Ответ: 56 с.