Номер 769, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 769, страница 271.

Условие.

769. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист и велосипедист?

Решение 4.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_м$ – скорость мотоциклиста (в км/ч).
• $v_в$ – скорость велосипедиста (в км/ч).
• $t$ – время от начала движения до момента встречи (в часах).
• $S_{AC}$ – расстояние от пункта А до места встречи С.
• $S_{CB}$ – расстояние от места встречи С до пункта В.

Мотоциклист проехал расстояние $S_{AC}$ до встречи, а велосипедист – расстояние $S_{CB}$. Так как они двигались до встречи одинаковое время $t$, можно записать:

$S_{AC} = v_м \cdot t$

$S_{CB} = v_в \cdot t$

После встречи мотоциклисту осталось проехать расстояние $S_{CB}$ до пункта В, и он затратил на это 2 часа. Велосипедисту осталось проехать расстояние $S_{AC}$ до пункта А, и он затратил на это 4,5 часа. Таким образом, мы можем записать:

$S_{CB} = v_м \cdot 2$

$S_{AC} = v_в \cdot 4.5$

Теперь у нас есть две пары уравнений для расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$. Приравняем выражения для каждого из расстояний:

Для $S_{AC}$: $v_м \cdot t = v_в \cdot 4.5$

Для $S_{CB}$: $v_в \cdot t = v_м \cdot 2$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{4.5}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{2}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять и правые части:

$\frac{4.5}{t} = \frac{t}{2}$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 = 4.5 \cdot 2$

$t^2 = 9$

$t = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, время, которое они ехали до встречи, составляет 3 часа.

Теперь найдем общее время в пути для каждого из них:

Общее время в пути мотоциклиста = (время до встречи) + (время после встречи) = $3$ ч + $2$ ч = $5$ часов.

Общее время в пути велосипедиста = (время до встречи) + (время после встречи) = $3$ ч + $4.5$ ч = $7.5$ часов.

Ответ: мотоциклист был в пути 5 часов, а велосипедист — 7,5 часов.