Номер 774, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 774, страница 271.

Условие.

774. 1) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5}}}$;

2) $\sqrt{30-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$;

3) $\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}$;

4) $\sqrt{2\sqrt{3}+4\sqrt{5}}.$

Решение 4.

1)

Для упрощения данного выражения, начнем с самого внутреннего радикала: $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$.

Воспользуемся формулой для упрощения сложных радикалов (формулой извлечения корня из двучлена):

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$

Эта формула применима, если выражение $A^2 - B$ является полным квадратом.

В нашем случае $A = 3$ и $B = 5$. Проверим условие:

$A^2 - B = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 = 2^2$.

Условие выполняется, значит, мы можем применить формулу:

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + 2}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{2 + \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$.

Выражение $\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}$ не упрощается далее стандартными методами, так как оно не соответствует известным формулам для упрощения радикалов. Таким образом, это является конечной упрощенной формой.

Ответ: $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

2)

Начнем упрощение с внутреннего радикала $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} + \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$.

Здесь $A = 2$ и $B = 3$. Проверим условие:

$A^2 - B = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 = 1^2$.

Условие выполняется. Применяем формулу:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Подставим это выражение в исходное:

$\sqrt{30 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{30 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{60 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}} = \sqrt{\frac{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$.

Дальнейшее упрощение этого выражения стандартными методами невозможно.

Ответ: $\frac{\sqrt{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{3 + \sqrt{3}}}$.

Попытаемся упростить внутренний радикал $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$, используя формулу для $\sqrt{A + \sqrt{B}}$.

Здесь $A = 3$ и $B = 3$.

Найдем значение $A^2 - B$:

$A^2 - B = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Поскольку 6 не является полным квадратом рационального числа, радикал $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$ не может быть упрощен к виду $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x$ и $y$ — рациональные числа. Следовательно, и все исходное выражение не может быть упрощено стандартными методами.

Ответ: Выражение $\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{3 + \sqrt{3}}}$ не может быть упрощено.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}}$.

Представим подкоренные выражения в виде корней: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$ и $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{\sqrt{12} + \sqrt{80}}$.

Это выражение имеет вид $\sqrt{X + \sqrt{Y}}$, где $X$ само является иррациональным числом: $X = \sqrt{12}$, а $Y = 80$.

Для упрощения такого радикала необходимо, чтобы выражение $X^2 - Y$ было полным квадратом. Проверим это условие:

$X^2 - Y = (\sqrt{12})^2 - 80 = 12 - 80 = -68$.

Так как $X^2 - Y < 0$, данное выражение не может быть представлено в виде суммы или разности более простых действительных радикалов. Таким образом, упрощение невозможно.

Ответ: Выражение $\sqrt{2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}}$ не может быть упрощено.