Номер 781, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 781, страница 272.

Условие.

781. (Задача О. Хайяма) Решить уравнение $\frac{1}{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1\frac{1}{4}$

Решение 4.

Решение

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1\frac{1}{4} $.

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в знаменателе находится переменная $x$, она не может быть равна нулю: $x \ne 0$.

Преобразуем правую часть уравнения из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Уравнение принимает вид: $ \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - \frac{5}{4} = 0 $

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменной. Пусть $ y = \frac{1}{x} $. Тогда $y^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$. Подставим новую переменную в уравнение: $ y^2 + 2y - \frac{5}{4} = 0 $

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 4: $ 4y^2 + 8y - 5 = 0 $

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: $ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} $

Мы нашли значения для $y$, теперь нужно вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $x = \frac{1}{y}$.

Для первого корня $y_1 = \frac{1}{2}$:
$ x_1 = \frac{1}{y_1} = \frac{1}{1/2} = 2 $

Для второго корня $y_2 = -\frac{5}{2}$:
$ x_2 = \frac{1}{y_2} = \frac{1}{-5/2} = -\frac{2}{5} $

Оба найденных значения $x_1=2$ и $x_2=-2/5$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$), следовательно, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $2; -0,4$.