Номер 788, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 788, страница 273.

Условие.

788. Доказать, что сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ делится на 10.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ делится на 10, достаточно показать, что ее последняя цифра равна 0. Последняя цифра суммы определяется последней цифрой суммы последних цифр слагаемых. Найдем последнюю цифру для каждого члена суммы.

1. Последняя цифра $11^{11}$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.
Например: $11^1 = 11$, $11^2 = 121$.
Следовательно, последняя цифра числа $11^{11}$ — это 1.
С помощью сравнений по модулю 10: $11 \equiv 1 \pmod{10}$, поэтому $11^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{10}$.

2. Последняя цифра $12^{12}$
Последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа $2^{12}$. Рассмотрим последние цифры степеней двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Последовательность последних цифр (2, 4, 8, 6) циклична с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру $2^{12}$, нужно посмотреть на остаток от деления показателя степени 12 на длину цикла 4.
$12 \div 4 = 3$ с остатком 0. Остаток 0 означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента цикла, то есть 6.
С помощью сравнений по модулю 10: $12 \equiv 2 \pmod{10}$, поэтому $12^{12} \equiv 2^{12} = (2^4)^3 \equiv 6^3 \equiv 6 \pmod{10}$.
Таким образом, последняя цифра числа $12^{12}$ — это 6.

3. Последняя цифра $13^{13}$
Последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа $3^{13}$. Рассмотрим последние цифры степеней тройки:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 13 на 4:
$13 \div 4 = 3$ с остатком 1. Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого элемента цикла, то есть 3.
С помощью сравнений по модулю 10: $13 \equiv 3 \pmod{10}$, поэтому $13^{13} \equiv 3^{13} = 3^{4 \cdot 3 + 1} = (3^4)^3 \cdot 3^1 \equiv 1^3 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{10}$.
Таким образом, последняя цифра числа $13^{13}$ — это 3.

Теперь сложим найденные последние цифры:$1 + 6 + 3 = 10$.
Последняя цифра суммы равна 0. Следовательно, вся сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ оканчивается на 0, а любое число, оканчивающееся на 0, делится на 10.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Поскольку последняя цифра суммы $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ равна 0, то эта сумма делится на 10.