Номер 795, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 795, страница 273.

Условие.

795. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120.

Решение 4.

Чтобы доказать, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом целом $n$, необходимо сначала упростить и разложить это выражение на множители.

Шаг 1: Вынесем общий множитель $n$ за скобки.

$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$

Шаг 2: Разложим на множители выражение в скобках. Это биквадратный трехчлен, который можно разложить как квадратный относительно $n^2$.

$n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2)^2 - 5(n^2) + 4$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$, где $x = n^2$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=4$.

Тогда разложение будет иметь вид: $(n^2 - 1)(n^2 - 4)$.

Шаг 3: Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для каждого из полученных множителей.

$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$

$n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$

Шаг 4: Соберем все множители вместе.

$n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Переставим множители в порядке возрастания для наглядности:

$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Полученное выражение является произведением пяти последовательных целых чисел.

Шаг 5: Докажем, что произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на 120.

Разложим число 120 на простые множители: $120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5$.

Чтобы доказать делимость на 120, нам нужно доказать, что выражение делится на 3, на 5 и на 8, поскольку эти числа являются взаимно простыми.

• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3. В нашей последовательности из пяти чисел такое число гарантированно есть. Следовательно, произведение делится на 3.
• Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел одно всегда делится на 5. Наше выражение как раз является произведением пяти таких чисел. Следовательно, произведение делится на 5.
• Делимость на 8: Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Рассмотрим последовательность из четырех последовательных чисел, которая является частью нашей последовательности. В ней всегда есть два четных числа, одно из которых делится на 4. Например, в последовательности $k, k+1, k+2, k+3$, если $k$ четное, то числа $k$ и $k+2$ — четные. Одно из них кратно 4. Если $k$ нечетное, то четные числа — $k+1$ и $k+3$, и одно из них кратно 4. Таким образом, произведение этих двух четных чисел всегда делится на $2 \times 4 = 8$. Так как в нашей последовательности из пяти чисел точно есть такая подпоследовательность из четырех, то все произведение делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится одновременно на 3, 5 и 8, а эти числа взаимно просты, то оно делится и на их произведение:

$3 \times 5 \times 8 = 120$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом целом $n$.

Ответ: Утверждение доказано.