Номер 799, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 799, страница 273.

Условие.

799. Доказать, что сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение 4.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на анализе остатков при делении на 4.

1. Представление нечётных чисел и суммы их квадратов.
Пусть $a$ и $b$ — два произвольных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Следовательно, мы можем записать $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$ для некоторых целых неотрицательных чисел $k$ и $m$.
Найдём сумму их квадратов:
$S = a^2 + b^2 = (2k+1)^2 + (2m+1)^2$
Раскроем скобки:
$S = (4k^2 + 4k + 1) + (4m^2 + 4m + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = 4k^2 + 4k + 4m^2 + 4m + 2 = 4(k^2 + k + m^2 + m) + 2$
Из полученного выражения видно, что сумма квадратов двух нечётных чисел при делении на 4 всегда даёт в остатке 2.

2. Анализ квадрата натурального числа.
Теперь рассмотрим, какой остаток при делении на 4 может давать квадрат произвольного натурального числа $c$. Любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным.

• Если число $c$ — чётное, то его можно представить в виде $c=2n$, где $n$ — натуральное число.
  Тогда его квадрат равен $c^2 = (2n)^2 = 4n^2$.
  Квадрат чётного числа делится на 4 без остатка, то есть остаток от деления на 4 равен 0.
• Если число $c$ — нечётное, то его можно представить в виде $c=2n+1$, где $n$ — целое неотрицательное число.
  Тогда его квадрат равен $c^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2+n) + 1$.
  Квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт в остатке 1.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.

3. Вывод.
Мы установили, что сумма квадратов двух нечётных чисел при делении на 4 даёт остаток 2. В то же время, квадрат любого натурального числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1.
Поскольку остаток 2 никогда не равен остатку 0 или 1, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть равна квадрату натурального числа.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов двух нечётных чисел всегда имеет вид $4k+2$ (т.е. даёт остаток 2 при делении на 4), а квадрат натурального числа может иметь только вид $4n$ или $4n+1$ (т.е. даёт остаток 0 или 1 при делении на 4). Так как эти результаты несовместимы, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа.