Номер 792, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 792, страница 273.

Условие.

792. Доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Решение 4.

Требуется доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$. Для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3, так как 6 = 2 · 3, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Метод алгебраических преобразований

Преобразуем исходное выражение, выделив слагаемые, делимость которых на 6 очевидна или легко доказуема. Представим $11n$ как $-n + 12n$: $n^3 + 11n = n^3 - n + 12n$

Теперь проанализируем получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $12n$.
1. Слагаемое $12n$ очевидно делится на 6, так как $12n = 6 \cdot (2n)$.
2. Слагаемое $n^3 - n$ разложим на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$.

Выражение $(n-1)n(n+1)$ — это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное (делящееся на 2) и ровно одно, кратное трем (делящееся на 3). Поскольку произведение делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.

Итак, мы представили исходное выражение $n^3 + 11n$ в виде суммы двух слагаемых, $(n^3 - n)$ и $12n$, каждое из которых делится на 6. Сумма двух чисел, делящихся на 6, также делится на 6. Следовательно, значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2: Метод математической индукции

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли утверждение для $n=1$.
$1^3 + 11 \cdot 1 = 1 + 11 = 12$.
Число 12 делится на 6 ($12 = 6 \cdot 2$). База индукции верна.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $k^3 + 11k$ делится на 6. Это значит, что существует такое целое число $m$, что $k^3 + 11k = 6m$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$. То есть докажем, что выражение $(k+1)^3 + 11(k+1)$ делится на 6.
Преобразуем это выражение:
$(k+1)^3 + 11(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (11k + 11) = k^3 + 3k^2 + 14k + 12$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать индукционное предположение:
$(k^3 + 11k) + 3k^2 + 3k + 12$.
Заменим $(k^3 + 11k)$ на $6m$:
$6m + 3k^2 + 3k + 12 = 6(m+2) + 3k(k+1)$.

Рассмотрим полученную сумму $6(m+2) + 3k(k+1)$. Первое слагаемое, $6(m+2)$, очевидно делится на 6. Второе слагаемое, $3k(k+1)$, также делится на 6, поскольку $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных чисел, которое всегда четно (делится на 2). Значит, $3k(k+1)$ делится на $3 \cdot 2 = 6$.

Следовательно, выражение для $n=k+1$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых кратно 6, а значит, и вся сумма кратна 6.
Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.