Номер 797, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 797, страница 273.

Условие.

797. Доказать, что разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

Решение 4.

Пусть исходное трёхзначное число равно $N$. Его можно представить в виде десятичной записи: $N = 100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — его цифры. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, в то время как $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $N_{rev} = 100c + 10b + a$.

Найдём разность этих чисел. Так как квадрат натурального числа всегда положителен, будем рассматривать абсолютное значение разности:$D = |N - N_{rev}| = |(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)|$

Упростим это выражение:$D = |100a - a + 10b - 10b + c - 100c| = |99a - 99c| = 99 \cdot |a - c|$

Мы должны доказать, что $D$ не может равняться квадрату натурального числа. Предположим обратное: пусть существует такое натуральное число $k$ ($k \ge 1$), что $D = k^2$.$99 \cdot |a - c| = k^2$

Если $a = c$, то разность $D = 99 \cdot 0 = 0$. Но $0$ не является квадратом натурального числа (натуральные числа — это $1, 2, 3, ...$, их квадраты — $1, 4, 9, ...$). Значит, $a \neq c$.

Разложим число 99 на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Наше уравнение принимает вид:$3^2 \cdot 11 \cdot |a - c| = k^2$

Для того чтобы левая часть уравнения была полным квадратом, каждый простой множитель в её разложении должен входить в чётной степени. Множитель $3$ уже имеет чётную степень (2). Множитель $11$ имеет нечётную степень (1). Чтобы степень стала чётной, выражение $|a - c|$ должно содержать множитель $11$ в нечётной степени. Таким образом, $|a - c|$ должно быть кратно 11. То есть, $|a - c|$ должно иметь вид $11 \cdot m^2$ для некоторого целого $m \ge 1$ (поскольку $a \neq c$).

Наименьшее возможное значение для $|a - c|$ при этом условии равно $11 \cdot 1^2 = 11$.

Теперь рассмотрим, какие значения в принципе может принимать величина $|a - c|$. Так как $a$ — это цифра от 1 до 9, а $c$ — цифра от 0 до 9, то их разность $a - c$ находится в диапазоне от $1-9=-8$ до $9-0=9$. Соответственно, модуль разности $|a - c|$ может принимать целые значения от 1 (так как $a \neq c$) до 9.$1 \le |a - c| \le 9$

Возникло противоречие. С одной стороны, для того чтобы разность $D$ была квадратом натурального числа, требуется, чтобы $|a - c|$ было кратно 11, т.е. было не меньше 11. С другой стороны, максимальное значение $|a - c|$ как разности двух цифр не может превышать 9.

Следовательно, наше исходное предположение неверно, и разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано.