Номер 796, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 796, страница 273.

Условие.

796. Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение 4.

Решение:

Обозначим искомое пятизначное число как $N = \overline{abcde}$, где $a, b, c, d, e$ – его цифры. При этом, так как число пятизначное, $a \neq 0$. В виде суммы разрядных слагаемых число можно записать так:
$N = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $N' = \overline{edcba}$.
$N' = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a$

По условию задачи, при умножении исходного числа на 9 получается число с обратным порядком цифр. Также дано, что результат умножения является пятизначным числом. Это значит, что $e \neq 0$. Запишем это в виде уравнения:
$9 \times \overline{abcde} = \overline{edcba}$
$9 \times (10000a + 1000b + 100c + 10d + e) = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a$

Теперь будем последовательно находить цифры.

1. Найдем цифру $a$.
Поскольку произведение $9 \times N$ является пятизначным числом, оно должно быть меньше 100 000.
$9 \times \overline{abcde} < 100000$
$\overline{abcde} < \frac{100000}{9} \approx 11111.11$
Так как $a$ – первая цифра числа, она не может быть равна нулю ($a \ge 1$). Из полученного неравенства следует, что единственное возможное значение для $a$ – это 1.
Итак, $a = 1$.

2. Найдем цифру $e$.
Теперь наше уравнение выглядит так: $9 \times \overline{1bcde} = \overline{edcb1}$.
Рассмотрим последнюю цифру произведения. При умножении числа $\overline{1bcde}$ на 9 последняя цифра результата будет такой же, как последняя цифра произведения $9 \times e$. С другой стороны, последняя цифра числа $\overline{edcb1}$ равна 1.
Следовательно, последняя цифра произведения $9 \times e$ должна быть 1. Проверив таблицу умножения на 9, находим, что этому условию удовлетворяет только $e=9$ ($9 \times 9 = 81$).
Итак, $e = 9$.

3. Найдем цифру $b$.
Наше число имеет вид $\overline{1bcd9}$. Уравнение принимает вид: $9 \times \overline{1bcd9} = \overline{9dcb1}$.
Поскольку первая цифра числа $\overline{1bcd9}$ равна 1, то при умножении на 9 результат $9 \times 1 = 9$ дает первую цифру итогового числа $\overline{9dcb1}$. Это означает, что при умножении следующей цифры ($b$) на 9 не должно быть переноса в старший разряд (в разряд десятков тысяч).
Произведение $9 \times b$ должно быть меньше 10. Этому условию удовлетворяют два значения: $b=0$ ($9 \times 0 = 0$) и $b=1$ ($9 \times 1 = 9$).
Рассмотрим оба случая, подставив известные значения $a=1$ и $e=9$ в исходное развернутое уравнение:
$9 \times (10000 + 1000b + 100c + 10d + 9) = 90000 + 1000d + 100c + 10b + 1$
$90000 + 9000b + 900c + 90d + 81 = 90000 + 1000d + 100c + 10b + 1$
$8990b + 800c - 910d = -80$
Разделим на 10: $899b + 80c - 91d = -8$, или $899b + 80c + 8 = 91d$.
Если $b=1$, то $899(1) + 80c + 8 = 91d \implies 907 + 80c = 91d$.
Так как $d$ – цифра, максимальное значение правой части $91 \times 9 = 819$. Минимальное значение левой части (при $c=0$) равно 907. Получаем противоречие $907 \le 819$. Значит, $b=1$ не является решением.
Следовательно, $b = 0$.

4. Найдем цифры $c$ и $d$.
Подставим $b=0$ в уравнение $899b + 80c + 8 = 91d$:
$899(0) + 80c + 8 = 91d \implies 80c + 8 = 91d$.
$8(10c + 1) = 91d$.
Поскольку 8 и 91 – взаимно простые числа, выражение $(10c+1)$ должно быть кратно 91.
Переберем возможные значения для цифры $c$ от 0 до 9.
При $c=9$ получаем $10 \times 9 + 1 = 91$. Это значение кратно 91. Никакое другое значение $c$ от 0 до 8 не дает число, кратное 91.
Итак, $c = 9$.
Теперь найдем $d$, подставив $c=9$ в уравнение:
$80(9) + 8 = 91d$
$720 + 8 = 91d$
$728 = 91d$
$d = \frac{728}{91} = 8$.
Итак, $d = 8$.

Мы нашли все цифры: $a=1, b=0, c=9, d=8, e=9$.
Искомое пятизначное число: 10989.

Проверка:
Умножим найденное число на 9:
$10989 \times 9 = 98901$.
Число, записанное цифрами числа 10989 в обратном порядке, это 98901.
Условие $9 \times 10989 = 98901$ выполняется.

Ответ: 10989.