Номер 790, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 790, страница 273.

Условие.

790. Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100?

Решение 4.

Для того чтобы определить, сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100, необходимо найти количество нулей в конце числа $100!$ (100 факториал), которое представляет собой произведение $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 100$.

Каждый ноль в конце числа образуется за счет произведения множителей 2 и 5, так как $10 = 2 \times 5$. Чтобы найти общее количество нулей, нам нужно посчитать, сколько пар множителей $(2, 5)$ содержится в разложении числа $100!$ на простые множители.

Множителей 2 в этом произведении значительно больше, чем множителей 5, поскольку каждое второе число (2, 4, 6, ...) является четным и дает как минимум один множитель 2. Множители 5 встречаются реже (только в числах, кратных 5). Поэтому количество нулей определяется именно количеством множителей 5, так как для каждой пятерки найдется соответствующая двойка.

Найдем, сколько раз множитель 5 встречается в произведении чисел от 1 до 100.

1. Сначала посчитаем все числа от 1 до 100, которые делятся на 5. Это числа 5, 10, 15, ..., 100. Их количество можно найти, разделив 100 на 5:
$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$
Таким образом, мы нашли 20 чисел, каждое из которых дает как минимум один множитель 5.

2. Некоторые из этих чисел делятся не просто на 5, а на $5^2 = 25$. Эти числа (25, 50, 75, 100) содержат дополнительный множитель 5. Посчитаем их количество:
$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$
Эти 4 числа дают по одному дополнительному множителю 5, который мы не учли на первом шаге.

3. Следующая степень пятерки — $5^3 = 125$. Поскольку $125 > 100$, чисел, кратных 125, в диапазоне от 1 до 100 нет.

Теперь сложим все найденные множители 5:
Общее количество множителей 5 равно $20 + 4 = 24$.

Следовательно, в разложении числа $100!$ на простые множители содержится 24 пятерки. Так как двоек заведомо больше, мы можем образовать 24 пары $(2, 5)$, каждая из которых даст один ноль в конце числа.

Ответ: 24