Номер 794, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 794, страница 273.

Условие.

794. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 30.

Решение 4.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^5 - n$ делится на 30 при любом целом $n$, необходимо показать, что оно делится на 2, 3 и 5, поскольку $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, а числа 2, 3 и 5 являются взаимно простыми.

Для начала разложим данное выражение на множители:

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$.

Для удобства анализа перегруппируем множители: $(n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$.

Доказательство делимости на 2 и 3

Множитель $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно найдется как минимум одно четное число (делящееся на 2) и ровно одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение $(n - 1)n(n + 1)$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$. Поскольку это произведение является частью исходного выражения, то и всё выражение $n^5 - n$ делится на 2 и на 3.

Доказательство делимости на 5

Докажем, что выражение $(n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$ делится на 5. Для этого рассмотрим все возможные остатки от деления числа $n$ на 5.

• Если $n$ делится на 5 (т.е. $n = 5k$ для некоторого целого $k$), то множитель $n$ в произведении делится на 5, а значит, и все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 1 (т.е. $n = 5k + 1$), то множитель $(n - 1) = (5k + 1) - 1 = 5k$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 2 (т.е. $n = 5k + 2$), то множитель $(n^2 + 1) = (5k + 2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 = 5(5k^2 + 4k + 1)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 3 (т.е. $n = 5k + 3$), то множитель $(n^2 + 1) = (5k + 3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2 + 6k + 2)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 4 (т.е. $n = 5k + 4$), то множитель $(n + 1) = (5k + 4) + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и убедились, что при любом целом $n$ выражение $n^5 - n$ делится на 5.

Заключение

Мы установили, что выражение $n^5 - n$ делится на 2, 3 и 5 при любом целом $n$. Так как эти числа являются взаимно простыми, то выражение должно делиться и на их произведение, равное $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: Утверждение доказано. При любом целом $n$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 30.