Номер 798, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 798, страница 273.

Условие.

798. Доказать, что если $x$ и $y$ — целые числа, такие, что число $3x+8y$ делится на 17, то $35x+65y$ также делится на 17.

Решение 4.

По условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми числами, и число $3x + 8y$ делится на 17. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $3x + 8y = 17k$.

Нам необходимо доказать, что число $35x + 65y$ также делится на 17.

Для этого преобразуем выражение $35x + 65y$, стараясь представить его в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на 17. Для этого выразим его через данное нам выражение $3x + 8y$.

Выполним следующее тождественное преобразование:

$35x + 65y = (18x + 17x) + (48y + 17y)$

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому:

$35x + 65y = (18x + 48y) + (17x + 17y)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$35x + 65y = 6(3x + 8y) + 17(x + y)$

Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она представляет собой сумму двух слагаемых:

1. Первое слагаемое: $6(3x + 8y)$. По условию задачи, выражение в скобках $(3x + 8y)$ делится на 17. Следовательно, и все произведение $6(3x + 8y)$ делится на 17.

2. Второе слагаемое: $17(x + y)$. Это выражение очевидно делится на 17, так как содержит множитель 17, а $x$ и $y$ — целые числа.

Поскольку оба слагаемых в полученной сумме, $6(3x + 8y)$ и $17(x + y)$, делятся на 17, то и вся их сумма делится на 17. А так как эта сумма равна исходному выражению $35x + 65y$, то и оно делится на 17.

Таким образом, мы доказали, что если $3x + 8y$ делится на 17, то и $35x + 65y$ также делится на 17.

Ответ: Утверждение доказано.