Номер 804, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 804, страница 274.

Условие.

804. Доказать, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2-1$ делится на 24.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $p^2-1$ делится на 24, необходимо показать, что оно делится одновременно на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые.

Разложим выражение $p^2-1$ на множители по формуле разности квадратов:

$p^2-1 = (p-1)(p+1)$.

Докажем делимость на 3

По условию, $p$ — простое число, большее 3. Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 число $p$ может давать в остатке 1 или 2.

1. Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 1, то его можно представить в виде $p = 3k+1$, где $k$ — натуральное число. Тогда множитель $(p-1)$ будет равен:$p-1 = (3k+1) - 1 = 3k$.Так как один из множителей, $(p-1)$, делится на 3, то и все произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 3.

2. Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 2, то его можно представить в виде $p = 3k+2$, где $k$ — натуральное число. Тогда множитель $(p+1)$ будет равен:$p+1 = (3k+2) + 1 = 3k+3 = 3(k+1)$.В этом случае множитель $(p+1)$ делится на 3, а значит, и все произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что $p^2-1$ всегда делится на 3.

Докажем делимость на 8

Любое простое число $p$, большее 3, является нечётным. Это означает, что числа $(p-1)$ и $(p+1)$ являются двумя последовательными чётными числами.

Например, если $p=5$, то $(p-1)=4$ и $(p+1)=6$. Если $p=11$, то $(p-1)=10$ и $(p+1)=12$.

В любой паре последовательных чётных чисел одно из них обязательно делится на 4. Другое число, будучи чётным, делится как минимум на 2.Следовательно, произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Поскольку $(p-1)$ и $(p+1)$ — это два последовательных чётных числа, их произведение $(p-1)(p+1) = p^2-1$ делится на 8.

Заключение

Мы установили, что выражение $p^2-1$ делится на 3 и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, то $p^2-1$ должно делиться на их произведение $3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: Что и требовалось доказать.