Номер 811, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 811, страница 274.

Условие.

811. Доказать равенство:

1) $\frac{a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)}{a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)} = a+b+c;$

2) $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(c-a);$

3) $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a);$

4) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca);$

5) $(a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (c+a-b)^3 = 24abc;$

6) $(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(a-b)(a-c)(c-b).$

Решение 4.

1) Докажем равенство $ \frac{a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)}{a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)} = a+b+c $.

Преобразуем числитель $N = a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)$ и знаменатель $D = a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)$ дроби, разложив их на множители.

Сначала преобразуем знаменатель $D$:

$D = a^2c - a^2b + b^2a - b^2c + c^2b - c^2a$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

$D = a^2(c-b) - a(c^2-b^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(c-b) - a(c-b)(c+b) + bc(b-c)$

$D = a^2(c-b) - a(c-b)(c+b) - bc(c-b)$

Вынесем общий множитель $(c-b)$:

$D = (c-b)[a^2 - a(c+b) + bc] = (c-b)[a^2 - ac - ab + bc]$

$D = (c-b)[a(a-c) - b(a-c)] = (c-b)(a-c)(a-b)$.

Для удобства приведем к циклическому виду: $D = -(a-b)(b-c)(c-a)$.

Теперь преобразуем числитель $N$:

$N = a^3c - a^3b + b^3a - b^3c + c^3b - c^3a$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

$N = -a^3(b-c) + a(b^3-c^3) - (b^3c - bc^3) = -a^3(b-c) + a(b-c)(b^2+bc+c^2) - bc(b^2-c^2)$

$N = -a^3(b-c) + a(b-c)(b^2+bc+c^2) - bc(b-c)(b+c)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$:

$N = (b-c)[-a^3 + a(b^2+bc+c^2) - bc(b+c)] = (b-c)[-a^3 + ab^2+abc+ac^2 - b^2c-bc^2]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках:

$N = (b-c)[-a^3+ac^2 + ab^2-b^2c + abc-bc^2] = (b-c)[-a(a^2-c^2) + b^2(a-c) + bc(a-c)]$

$N = (b-c)[-a(a-c)(a+c) + b^2(a-c) + bc(a-c)] $

Вынесем множитель $(a-c)$:

$N = (b-c)(a-c)[-a(a+c) + b^2+bc] = (b-c)(a-c)[-a^2-ac+b^2+bc]$

Сгруппируем слагаемые в последней скобке:

$N = (b-c)(a-c)[(b^2-a^2) - (ac-bc)] = (b-c)(a-c)[(b-a)(b+a) - c(a-b)]$

$N = (b-c)(a-c)[-(a-b)(a+b) - c(a-b)] = (b-c)(a-c)(a-b)[-(a+b)-c]$

$N = -(b-c)(a-c)(a-b)(a+b+c)$.

Приведем к циклическому виду: $N = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.

Теперь найдем отношение $N/D$:

$\frac{N}{D} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{-(a-b)(b-c)(c-a)} = a+b+c$

Равенство верно при $a \neq b, b \neq c, c \neq a$.

Ответ: Равенство доказано.

---

2) Докажем равенство $ a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(c-a) $.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ), раскрыв скобки:

ЛЧ $= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

ЛЧ $= a^2(c-b) + a(b^2-c^2) + (bc^2 - b^2c)$

Вынесем общие множители:

ЛЧ $= a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) - bc(b-c) = -(b-c)a^2 + a(b-c)(b+c) - bc(b-c)$

Вынесем за скобки $(b-c)$:

ЛЧ $= (b-c)[-a^2 + a(b+c) - bc] = (b-c)[-a^2 + ab + ac - bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

ЛЧ $= (b-c)[-a(a-b) + c(a-b)] = (b-c)(c-a)(a-b)$

Переставим множители для соответствия с правой частью:

ЛЧ $= (a-b)(b-c)(c-a)$

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

---

3) Докажем равенство $ (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) $.

Воспользуемся формулой куба суммы $(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$.

Представим левую часть (ЛЧ) как $((a+b)+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$. Пусть $x=a+b, y=c$.

ЛЧ $= (a+b)^3 + c^3 + 3(a+b)c((a+b)+c) - a^3 - b^3 - c^3$

Сократим $c^3$ и $-c^3$. Раскроем $(a+b)^3$ по той же формуле:

ЛЧ $= (a^3+b^3+3ab(a+b)) + 3c(a+b)(a+b+c) - a^3 - b^3$

Сократим $a^3$ и $-a^3$, а также $b^3$ и $-b^3$:

ЛЧ $= 3ab(a+b) + 3c(a+b)(a+b+c)$

Вынесем общий множитель $3(a+b)$ за скобки:

ЛЧ $= 3(a+b)[ab + c(a+b+c)] = 3(a+b)[ab + ac + bc + c^2]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках и разложим на множители:

ЛЧ $= 3(a+b)[(ab+bc) + (ac+c^2)] = 3(a+b)[b(a+c) + c(a+c)] = 3(a+b)(b+c)(a+c)$

Поменяв местами множители $(a+c)$ и $(b+c)$, получим правую часть равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

---

4) Докажем равенство $ a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $.

Это известное тождество. Докажем его, раскрыв скобки в правой части (ПЧ).

ПЧ $= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Выполним умножение:

ПЧ $= (a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2) + (a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc) + (ca^2+cb^2+c^3-abc-bc^2-c^2a)$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

ПЧ $= a^3+b^3+c^3 + (ab^2-ab^2) + (ac^2-c^2a) + (-a^2b+a^2b) + (-ca^2+ca^2) + (bc^2-bc^2) + (-b^2c+cb^2) -abc-abc-abc$

ПЧ $= a^3+b^3+c^3 - 3abc$

Правая часть равна левой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

---

5) Докажем равенство $ (a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (c+a-b)^3 = 24abc $.

Введем замены для упрощения левой части (ЛЧ):

Пусть $x = a+b-c$, $y = b+c-a$, $z = c+a-b$.

Найдем сумму этих переменных:

$x+y+z = (a+b-c) + (b+c-a) + (c+a-b) = a+b+c$.

Тогда ЛЧ можно переписать в виде:

ЛЧ $= (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$.

Из тождества, доказанного в пункте 3, мы знаем, что $(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$.

Найдем значения выражений $(x+y)$, $(y+z)$ и $(z+x)$:

$x+y = (a+b-c) + (b+c-a) = 2b$

$y+z = (b+c-a) + (c+a-b) = 2c$

$z+x = (c+a-b) + (a+b-c) = 2a$

Подставим эти значения в преобразованную ЛЧ:

ЛЧ $= 3 \cdot (2b) \cdot (2c) \cdot (2a) = 3 \cdot 8abc = 24abc$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

---

6) Докажем равенство $ (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(a-b)(a-c)(c-b) $.

Воспользуемся тождеством из пункта 4: $X^3+Y^3+Z^3-3XYZ = (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)$.

Из этого тождества следует, что если $X+Y+Z=0$, то $X^3+Y^3+Z^3 = 3XYZ$.

Введем замены:

Пусть $X = b-c$, $Y = c-a$, $Z = a-b$.

Проверим сумму этих переменных:

$X+Y+Z = (b-c) + (c-a) + (a-b) = b-c+c-a+a-b = 0$.

Так как сумма равна нулю, мы можем применить следствие из тождества:

$(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(b-c)(c-a)(a-b)$.

Преобразуем правую часть полученного выражения, чтобы она соответствовала правой части доказываемого равенства:

$3(b-c)(c-a)(a-b) = 3(-1(c-b))(-1(a-c))(a-b) = 3(c-b)(a-c)(a-b)$.

Поменяв множители местами, получаем $3(a-b)(a-c)(c-b)$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.