Номер 814, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 814, страница 275.

Условие.

814. Если $a \neq b$ и $\frac{a^2 - bc}{a(1 - bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1 - ac)}$, то $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Доказать.

Решение 4.

Доказательство:

Начнем с данного в условии равенства:

$$ \frac{a^2 - bc}{a(1-bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1-ac)} $$

По условию $a \neq b$. Также из вида дробей следует, что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $1-bc \neq 0$ и $1-ac \neq 0$. Если предположить, что $c=0$, то равенство примет вид $\frac{a^2}{a} = \frac{b^2}{b}$, что означает $a=b$. Это противоречит условию $a \neq b$, следовательно, $c \neq 0$.

Выполним преобразование, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$ b(1-ac)(a^2 - bc) = a(1-bc)(b^2 - ac) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$ (b - abc)(a^2 - bc) = (a - abc)(b^2 - ac) $$

$$ a^2b - b^2c - a^3bc + ab^2c^2 = ab^2 - a^2c - ab^3c + a^2bc^2 $$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$$ (a^2b - ab^2) + (a^2c - b^2c) - (a^3bc - ab^3c) - (a^2bc^2 - ab^2c^2) = 0 $$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$ ab(a-b) + c(a^2-b^2) - abc(a^2-b^2) - abc^2(a-b) = 0 $$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ ab(a-b) + c(a-b)(a+b) - abc(a-b)(a+b) - abc^2(a-b) = 0 $$

Теперь можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$$ (a-b)[ab + c(a+b) - abc(a+b) - abc^2] = 0 $$

Так как по условию $a \neq b$, то множитель $(a-b)$ не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(a-b)$:

$$ ab + c(a+b) - abc(a+b) - abc^2 = 0 $$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$$ ab + ac + bc - a^2bc - ab^2c - abc^2 = 0 $$

Перенесем члены с отрицательными знаками в правую часть:

$$ ab + ac + bc = a^2bc + ab^2c + abc^2 $$

Теперь рассмотрим равенство, которое требуется доказать: $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.

Поскольку мы установили, что $a, b, c$ не равны нулю, мы можем привести правую часть к общему знаменателю $abc$:

$$ a+b+c = \frac{bc + ac + ab}{abc} $$

Умножим обе части этого равенства на $abc$:

$$ abc(a+b+c) = ab + ac + bc $$

Раскрыв скобки в левой части, получим:

$$ a^2bc + ab^2c + abc^2 = ab + ac + bc $$

Сравнивая полученное равенство с результатом, выведенным из исходного условия ($ab + ac + bc = a^2bc + ab^2c + abc^2$), мы видим, что они идентичны. Это доказывает, что исходное равенство эквивалентно доказываемому.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Оно показывает, что при выполнении условий $a \neq b$ и $\frac{a^2 - bc}{a(1-bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1-ac)}$, равенство $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ является верным.