Номер 816, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 816, страница 275.

Условие.

816. Упростить выражение:

1) $ \frac{4}{1+x^4} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}; $

2) $ \frac{a^2-bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2-ac}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^2-ab}{(a+c)(b+c)}; $

3) $ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}, \text{ если } 1 \le x < 2; $

4) $ \frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}}, \text{ если } x = \frac{2mn}{n^2+1}, \text{ где } m>0, 0<n<1. $

Решение 4.

1) Упростим выражение, последовательно складывая дроби, начиная с последних двух.
Сначала сложим последние две дроби:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1-x + 1+x}{(1+x)(1-x)} = \frac{2}{1-x^2}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{1+x^4} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1-x^2}$.
Сложим следующие две дроби:
$\frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{2(1-x^2) + 2(1+x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{2-2x^2+2+2x^2}{1-x^4} = \frac{4}{1-x^4}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{1+x^4} + \frac{4}{1-x^4}$.
Наконец, сложим оставшиеся дроби:
$\frac{4}{1+x^4} + \frac{4}{1-x^4} = \frac{4(1-x^4) + 4(1+x^4)}{(1+x^4)(1-x^4)} = \frac{4-4x^4+4+4x^4}{1-x^8} = \frac{8}{1-x^8}$.
Ответ: $\frac{8}{1-x^8}$.

2) Приведем все дроби к общему знаменателю $(a+b)(a+c)(b+c)$:
$\frac{(a^2-bc)(b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)} + \frac{(b^2-ac)(a+c)}{(b+c)(a+b)(a+c)} + \frac{(c^2-ab)(a+b)}{(a+c)(b+c)(a+b)}$.
Сложим числители:
$(a^2-bc)(b+c) + (b^2-ac)(a+c) + (c^2-ab)(a+b)$
Раскроем скобки в числителе:
$(a^2b + a^2c - b^2c - bc^2) + (ab^2 + b^2c - a^2c - ac^2) + (ac^2 + bc^2 - a^2b - ab^2)$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(a^2b - a^2b) + (a^2c - a^2c) + (-b^2c + b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + (ab^2 - ab^2) + (-ac^2 + ac^2) = 0$.
Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю по определению, все выражение равно нулю.
Ответ: $0$.

3) Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты.
Для первого слагаемого: $x+2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}+1)^2$.
Для второго слагаемого: $x-2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}-1)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = |\sqrt{x-1}+1| + |\sqrt{x-1}-1|$.
По условию $1 \le x < 2$. Следовательно, $0 \le x-1 < 1$, и $0 \le \sqrt{x-1} < 1$.
Оценим выражения под модулями:
1) $\sqrt{x-1}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$.
2) $\sqrt{x-1}-1 < 0$, поэтому $|\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) = 1-\sqrt{x-1}$.
Сложим полученные выражения:
$(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1}) = \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1} = 2$.
Ответ: $2$.

4) Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})$:
$\frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}} = \frac{(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})^2}{(\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x})(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})} = \frac{(m+x)+2\sqrt{(m+x)(m-x)}+(m-x)}{(m+x)-(m-x)} = \frac{2m+2\sqrt{m^2-x^2}}{2x} = \frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}$.
Теперь подставим значение $x = \frac{2mn}{n^2+1}$. Сначала вычислим выражение под корнем:
$m^2-x^2 = m^2 - \left(\frac{2mn}{n^2+1}\right)^2 = m^2\left(1 - \frac{4n^2}{(n^2+1)^2}\right) = m^2\frac{(n^2+1)^2-4n^2}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{n^4+2n^2+1-4n^2}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{n^4-2n^2+1}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2} = \left(\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right)^2$.
Тогда $\sqrt{m^2-x^2} = \sqrt{\left(\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right)^2} = \left|\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right|$.
По условию $m>0$ и $0<n<1$. Значит $n^2-1 < 0$, и $n^2+1 > 0$. Следовательно, выражение под модулем отрицательно.
$\left|\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right| = -\frac{m(n^2-1)}{n^2+1} = \frac{m(1-n^2)}{n^2+1}$.
Подставим это в упрощенное выражение $\frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}$:
$\frac{m + \frac{m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{m(n^2+1)+m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{mn^2+m+m-mn^2}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{2m}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{2m}{2mn} = \frac{1}{n}$.
Ответ: $\frac{1}{n}$.