Номер 813, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 813, страница 275.

Условие.

813. Доказать, что выражение $a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$ не равно нулю, если $a, b, c$ — попарно не равные между собой числа.

Решение 4.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Обозначим его через $E$:$E = a^2(c - b) + b^2(a - c) + c^2(b - a)$

Сначала раскроем скобки, чтобы получить многочлен:$E = a^2c - a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - ac^2$

Теперь сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Удобно сгруппировать их по степеням одной из переменных, например, $a$:$E = -a^2(b - c) + a(b^2 - c^2) - (b^2c - bc^2)$Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$ и вынесем общий множитель в последней группе $-bc(b-c)$:$E = -a^2(b - c) + a(b - c)(b + c) - bc(b - c)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(b - c)$:$E = (b - c)(-a^2 + a(b + c) - bc)$

Преобразуем выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и сгруппировав слагаемые для дальнейшего разложения:$-a^2 + ab + ac - bc = (ab - a^2) + (ac - bc) = a(b - a) - c(b - a) = (a - c)(b - a)$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения трех множителей:$E = (b - c)(a - c)(b - a)$

По условию задачи числа $a, b, c$ являются попарно не равными. Это означает, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$. Из этого следует, что каждая из разностей в полученном произведении не равна нулю:$(b - c) \neq 0$$(a - c) \neq 0$$(b - a) \neq 0$

Произведение трех ненулевых множителей всегда отлично от нуля. Следовательно, и значение исходного выражения не может быть равно нулю.

Ответ: Утверждение доказано, так как данное выражение тождественно равно произведению $(b-c)(a-c)(b-a)$, а по условию попарного различия чисел $a, b, c$ все три множителя в этом произведении отличны от нуля.