Номер 812, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 812, страница 274.

Условие.

812. Доказать, что из равенства $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$ следует равенство $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения мы начнем с преобразования исходного равенства, чтобы найти ключевое соотношение между переменными $a$, $b$ и $c$.

Исходное равенство:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

Перенесем $\frac{1}{c}$ в правую часть:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b+c} - \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю на обеих сторонах равенства:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - (a+b+c)}{c(a+b+c)}$

Упростим числитель в правой части:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - a - b - c}{c(a+b+c)}$

$\frac{a+b}{ab} = \frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{a+b}{ab} + \frac{a+b}{c(a+b+c)} = 0$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b) \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{c(a+b+c)} \right) = 0$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$(a+b) \left( \frac{c(a+b+c) + ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{ac+bc+c^2 + ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

Сгруппируем слагаемые в числителе дроби:

$(a+b) \left( \frac{(ac+ab) + (bc+c^2)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{a(c+b) + c(b+c)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

В итоге получаем:

$\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)} = 0$

Это равенство (при условии, что знаменатель не равен нулю, что предполагается исходными равенствами) выполняется тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

$(a+b)(a+c)(b+c) = 0$

Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю, то есть выполняется одно из условий: $a+b=0$, или $a+c=0$, или $b+c=0$.

Теперь рассмотрим равенство, которое нам нужно доказать:

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$

Проводя аналогичные преобразования для этого выражения (заменив $a$, $b$, $c$ на $a^3$, $b^3$, $c^3$), мы получим, что оно эквивалентно следующему условию:

$(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3) = 0$

Нам осталось доказать, что если $(a+b)(a+c)(b+c) = 0$, то и $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3) = 0$.

Рассмотрим три возможных случая, вытекающих из первого условия:

1. Если $a+b=0$, то $a=-b$.
В этом случае $a^3+b^3 = (-b)^3 + b^3 = -b^3 + b^3 = 0$.
Тогда произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ будет равно нулю, так как один из его множителей равен нулю.

2. Если $a+c=0$, то $a=-c$.
В этом случае $a^3+c^3 = (-c)^3 + c^3 = -c^3 + c^3 = 0$.
Произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ снова будет равно нулю.

3. Если $b+c=0$, то $b=-c$.
В этом случае $b^3+c^3 = (-c)^3 + c^3 = -c^3 + c^3 = 0$.
И в этом случае произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ равно нулю.

Таким образом, во всех случаях, когда выполняется исходное равенство, выполняется и равенство $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)=0$, которое, в свою очередь, эквивалентно доказываемому равенству $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$.

Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.