Номер 805, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 805, страница 274.

Условие.

805. Найти все простые числа $n$ такие, что $n^2+8$ – простое число.

Решение 4.

Нам необходимо найти все простые числа $n$ такие, что выражение $n^2 + 8$ также является простым числом.

Рассмотрим последовательно несколько случаев, перебирая простые числа $n$.

Если $n = 2$, то $n^2 + 8 = 2^2 + 8 = 4 + 8 = 12$. Число 12 является составным (делится на 2, 3, 4, 6), поэтому $n=2$ не является решением.

Если $n = 3$, то $n^2 + 8 = 3^2 + 8 = 9 + 8 = 17$. Число 17 является простым. Следовательно, $n=3$ — это решение.

Теперь рассмотрим любое простое число $n > 3$. Каждое такое число не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 число $n$ дает в остатке либо 1, либо 2. Разберем оба этих варианта.

Случай 1: $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.
В этом случае $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда выражение $n^2 + 8$ примет вид: $n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8 = 9k^2 + 6k + 9$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3k^2 + 2k + 3)$. Так как $n > 3$, то $n^2 + 8 > 17$. Полученное число делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным.

Случай 2: $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.
В этом случае $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда выражение $n^2 + 8$ примет вид: $n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8 = 9k^2 + 12k + 12$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3k^2 + 4k + 4)$. Это число также делится на 3 и, так как $n > 3$, оно больше 3. Следовательно, оно является составным.

Мы показали, что для любого простого числа $n > 3$ значение выражения $n^2 + 8$ является составным числом, так как оно всегда кратно 3.

Таким образом, существует только одно простое число $n$, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: 3.