Номер 810, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 810, страница 274.

Условие.

810. Доказать, что $1980 \cdot 1981 \cdot 1982 \cdot 1983 + 1$ является квадратом некоторого натурального числа $x$, и найти $x$.

Решение 4.

Для доказательства и нахождения $x$ рассмотрим произведение четырех последовательных натуральных чисел в общем виде. Пусть первое число равно $n$. Тогда выражение можно записать как:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем множители, перемножив первый с последним и второй с третьим:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(n^2 + 3n) \cdot (n^2 + 2n + n + 2) + 1 = (n^2 + 3n) \cdot (n^2 + 3n + 2) + 1$

Теперь можно сделать замену переменной, чтобы сделать структуру выражения более очевидной. Пусть $y = n^2 + 3n$. Тогда наше выражение принимает вид:

$y(y+2) + 1$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 + 2y + 1$

Это выражение является формулой квадрата суммы (полным квадратом):

$(y+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 3n$ вместо $y$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел плюс единица всегда является квадратом натурального числа $x = n^2 + 3n + 1$.

В нашей задаче $n = 1980$. Найдем значение $x$:

$x = n^2 + 3n + 1 = 1980^2 + 3 \cdot 1980 + 1$

Для вычисления можно использовать и другую формулу для $x$, полученную из группировки: $x = n(n+3)+1$.

$x = 1980 \cdot (1980 + 3) + 1 = 1980 \cdot 1983 + 1$

Вычислим значение:

$x = 1980 \cdot 1983 + 1 = 3926340 + 1 = 3926341$

Ответ: Выражение $1980 \cdot 1981 \cdot 1982 \cdot 1983 + 1$ равно $(1980^2 + 3 \cdot 1980 + 1)^2$, что доказывает, что оно является квадратом натурального числа. Это натуральное число $x$ равно $3926341$.