Номер 806, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 806, страница 274.

Условие.

806. Доказать, что если $p$ — простое число и $p \ge 5$, то остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что если $p$ — простое число и $p \ge 5$, то остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, нам необходимо показать, что выражение $p^2 - 1$ делится на 12 без остатка.

Поскольку $12 = 3 \times 4$, и числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), нам достаточно доказать, что $p^2 - 1$ делится одновременно и на 3, и на 4.

Рассмотрим выражение $p^2 - 1$, предварительно разложив его на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Сначала докажем, что $(p-1)(p+1)$ делится на 3.
По условию, $p$ — простое число и $p \ge 5$. Это означает, что $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, это само число 3, но по условию $p \ge 5$). Рассмотрим три последовательных целых числа: $p-1, p, p+1$. Одно из этих чисел обязательно делится на 3. Так как $p$ на 3 не делится, то на 3 делится либо $p-1$, либо $p+1$. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ в любом случае будет делиться на 3.

Теперь докажем, что $(p-1)(p+1)$ делится на 4.
Поскольку $p$ — простое число и $p \ge 5$, $p$ является нечетным числом. Тогда $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных четных числа (например, если $p=5$, то это 4 и 6; если $p=7$, то это 6 и 8). Из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится не только на 2, но и на 4. Таким образом, в произведении $(p-1)(p+1)$ один множитель является четным (делится на 2), а другой делится на 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$, а значит, тем более делится и на 4.

Итак, мы установили, что выражение $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 4. Так как числа 3 и 4 взаимно просты, то $p^2 - 1$ должно делиться и на их произведение, то есть на 12.
Если $p^2 - 1$ делится на 12, это можно записать как $p^2 - 1 = 12k$ для некоторого целого числа $k$. Отсюда следует, что $p^2 = 12k + 1$. Это по определению означает, что остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.