Номер 809, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 809, страница 274.

Условие.

809. Доказать равенство:

1) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};

2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}};

3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1;

4) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)};

5) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$.

Решение 4.

1)

Докажем равенство $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.
Для этого преобразуем левую и правую части по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателях.

Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Первое слагаемое: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.

Второе слагаемое. Заметим, что $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
$\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{8}-\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}$.

Сложим полученные выражения, чтобы найти значение левой части: ЛЧ = $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (\sqrt{8}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{8}$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5}$.

Мы получили, что ЛЧ = $\sqrt{5}+\sqrt{8}$ и ПЧ = $\sqrt{8}+\sqrt{5}$. Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Докажем равенство $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$.
Преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Упростим уменьшаемое: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.

Упростим вычитаемое: $\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3-11} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{-8} = -(\sqrt{3}+\sqrt{11}) = -\sqrt{3}-\sqrt{11}$.

Теперь найдем разность: ЛЧ = $(\sqrt{7}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}-\sqrt{11}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{11} = \sqrt{7}+\sqrt{11}$.

Преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{4} = \sqrt{11}+\sqrt{7}$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = $\sqrt{7}+\sqrt{11}$ и ПЧ = $\sqrt{11}+\sqrt{7}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

3)

Докажем равенство $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1$.
Данная сумма является телескопической. Преобразуем общий член ряда вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Теперь распишем сумму, используя полученное выражение для каждого слагаемого:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
...
$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-\sqrt{98}$

Сложим все эти выражения: Сумма = $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{98})$.

Промежуточные члены взаимно уничтожаются ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, и т.д.). Остаются только первый и последний компоненты: Сумма = $-1 + \sqrt{99} = \sqrt{99}-1$.

Левая часть равна $\sqrt{99}-1$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство доказано.

4)

Докажем равенство $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.
Воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Общий вид слагаемого в левой части можно представить так: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.

Применим это правило к каждому слагаемому в левой части (ЛЧ):
$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}$
$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$

Теперь сложим эти выражения. Это телескопическая сумма, в которой промежуточные члены сокращаются:
ЛЧ = $(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}) + (\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3}$.

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} = \frac{1 \cdot (a+3) - 1 \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a+3-a}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.

Ответ: Равенство доказано.

5)

Докажем тождество $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем множители следующим образом: ЛЧ = $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$.

Раскроем скобки в каждой группе:
$n(n+3) = n^2+3n$
$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$

Подставим полученные выражения обратно: ЛЧ = $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$.

Сделаем замену. Пусть $x = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид: ЛЧ = $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(x+1)^2$.

Выполнив обратную замену $x = n^2+3n$, получим: ЛЧ = $(n^2+3n+1)^2$.

Это выражение совпадает с правой частью исходного равенства.

Ответ: Тождество доказано.