Номер 808, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 808, страница 274.

Условие.

808. Найти целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x + y = xy$.

Решение 4.

Для решения данного уравнения в целых числах $x$ и $y$, преобразуем его с целью последующей факторизации.

Исходное уравнение:$x + y = xy$

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения:$xy - x - y = 0$

Чтобы разложить левую часть на множители, можно использовать метод группировки. Для этого добавим к обеим частям уравнения 1. Это позволит нам выделить общий множитель.$xy - x - y + 1 = 1$

Сгруппируем слагаемые в левой части:$x(y - 1) - (y - 1) = 1$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:$(x - 1)(y - 1) = 1$

По условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми числами. Следовательно, выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.$\begin{cases}x - 1 = 1 \\y - 1 = 1\end{cases}$Из этой системы получаем решение $x = 2$, $y = 2$.

2. Оба множителя равны -1.$\begin{cases}x - 1 = -1 \\y - 1 = -1\end{cases}$Из этой системы получаем решение $x = 0$, $y = 0$.

Таким образом, мы нашли все пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 2)$.