Номер 807, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 807, страница 274.

Условие.

807. Доказать, что если $n$ — натуральное число и $n > 1$, то $n^4 + 4$ — составное число.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что число $n^4 + 4$ является составным при натуральном $n > 1$, нам нужно показать, что его можно разложить на два множителя, каждый из которых является целым числом, большим 1.

Рассмотрим выражение $n^4 + 4$. Мы можем преобразовать его, используя метод выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем одно и то же слагаемое, а именно $4n^2$:$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой полный квадрат суммы $(n^2+2)^2$. Выражение $4n^2$ можно записать как $(2n)^2$. Таким образом, мы получаем:$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = n^2 + 2$ и $b = 2n$:$(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Итак, мы представили исходное выражение в виде произведения двух множителей:$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Теперь необходимо доказать, что при $n > 1$ оба этих множителя являются целыми числами, строго большими 1. Так как по условию $n$ — натуральное число, то и значения выражений в скобках будут целыми.

Проанализируем первый множитель: $n^2 - 2n + 2$.Выделим в нем полный квадрат:$n^2 - 2n + 2 = (n^2 - 2n + 1) + 1 = (n-1)^2 + 1$По условию $n$ — натуральное число и $n > 1$, что означает $n \ge 2$.Следовательно, разность $n-1 \ge 1$, и ее квадрат $(n-1)^2 \ge 1$.Тогда значение первого множителя $(n-1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$.Таким образом, первый множитель $(n^2 - 2n + 2)$ всегда больше 1.

Проанализируем второй множитель: $n^2 + 2n + 2$.Поскольку $n \ge 2$, все слагаемые в этом выражении положительны.Найдем его наименьшее значение при $n=2$:$2^2 + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$.Для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет не меньше 10, так как функция $f(n) = n^2+2n+2$ возрастает для положительных $n$.Следовательно, второй множитель $(n^2 + 2n + 2)$ также всегда больше 1.

Поскольку число $n^4 + 4$ представляется в виде произведения двух целых чисел, $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$, каждое из которых для любого натурального $n>1$ больше единицы, то по определению число $n^4 + 4$ является составным.

Ответ: Выражение $n^4+4$ было разложено на два множителя: $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$. Было доказано, что для любого натурального числа $n > 1$ оба множителя являются целыми числами, строго большими 1. Следовательно, число $n^4+4$ является составным для всех натуральных $n > 1$, что и требовалось доказать.