Номер 800, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 800, страница 273.

Условие.

800. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа.

Решение 4.

Пусть пять последовательных натуральных чисел можно представить в виде $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 3$.

Найдем сумму их квадратов $S$:$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$$S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$$S = 5n^2 + 10$$S = 5(n^2 + 2)$

Теперь необходимо доказать, что полученное выражение не является квадратом натурального числа. Будем доказывать от противного. Предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$, то есть $S = k^2$.

Тогда мы имеем равенство:$k^2 = 5(n^2 + 2)$

Из этого равенства видно, что $k^2$ делится на 5. Поскольку 5 является простым числом, то и само число $k$ должно быть кратно 5. Представим $k$ в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим это выражение для $k$ в наше уравнение:$(5m)^2 = 5(n^2 + 2)$$25m^2 = 5(n^2 + 2)$

Разделим обе части уравнения на 5:$5m^2 = n^2 + 2$

Рассмотрим это равенство по модулю 5. Левая часть, $5m^2$, очевидно, делится на 5, то есть ее остаток от деления на 5 равен 0.$5m^2 \equiv 0 \pmod{5}$

Следовательно, и правая часть должна давать остаток 0 при делении на 5:$n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$$n^2 \equiv -2 \pmod{5}$$n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что квадрат натурального числа $n$ при делении на 5 должен давать в остатке 3. Проверим, какие остатки могут давать квадраты натуральных чисел при делении на 5:

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел при делении на 5 дает остаток 2 или 3, в то время как квадрат натурального числа может давать при делении на 5 только остатки 0, 1 или 4. Следовательно, эта сумма не может быть квадратом натурального числа.