Страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

785. Доказать, что если из трёхзначного числа вычесть трёхзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.

Обозначим исходное трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ — количество сотен, $b$ — количество десятков, а $c$ — количество единиц. В алгебраической форме это число можно записать как:

$N_1 = 100a + 10b + c$

Поскольку число является трёхзначным, цифра сотен $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{cba}$. Его алгебраическая форма:

$N_2 = 100c + 10b + a$

Так как это число тоже трёхзначное, его первая цифра $c$ также не может быть нулём ($c \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Теперь найдём разность этих двух чисел:

$D = N_1 - N_2 = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$D = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:

$D = 99(a - c)$

В задаче требуется доказать делимость модуля полученной разности. Найдём модуль $|D|$:

$|D| = |99(a - c)| = 99 \cdot |a - c|$

Теперь проанализируем полученное выражение $99|a-c|$ на предмет делимости на 9 и 11.

Число 99 можно разложить на множители 9 и 11:

$99 = 9 \times 11$

Следовательно, модуль разности можно представить в виде:

$|D| = 9 \times 11 \times |a - c|$

Поскольку $|D|$ является произведением, в котором есть множители 9 и 11, то оно гарантированно делится нацело и на 9, и на 11. Величина $|a-c|$ является целым неотрицательным числом, так как $a$ и $c$ — это цифры.

Таким образом, доказано, что модуль разности трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 9 и 11.

Ответ: Модуль разности между трёхзначным числом $\overline{abc}$ и числом $\overline{cba}$ равен $|(100a+10b+c) - (100c+10b+a)| = |99a-99c| = 99|a-c|$. Так как один из множителей равен 99, а $99 = 9 \times 11$, то всё произведение делится нацело и на 9, и на 11, что и требовалось доказать.

786. Если между цифрами двузначного числа $x$ вписать это же число, то полученное четырёхзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти $x$.

Пусть искомое двузначное число $x$ состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда это число можно записать в виде $x = 10a + b$. По условию, $a$ и $b$ — целые числа, причем $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$.

Если между цифрами $a$ и $b$ вписать само число $x$, то получится четырехзначное число. Разберем структуру этого нового числа. Первая цифра $a$ становится цифрой тысяч. За ней следует двузначное число $x$, которое занимает позиции сотен и десятков. Последней цифрой является $b$, которая стоит на месте единиц. Алгебраически новое число, которое мы обозначим $y$, можно представить следующим образом:

$y = a \cdot 1000 + x \cdot 10 + b$

Подставим выражение для $x = 10a + b$ в формулу для $y$:

$y = a \cdot 1000 + (10a + b) \cdot 10 + b$

Упростим это выражение:

$y = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b$

По условию задачи, полученное четырехзначное число $y$ в 66 раз больше первоначального двузначного числа $x$. Составим уравнение:

$y = 66x$

$1100a + 11b = 66 \cdot (10a + b)$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 11:

$100a + b = 6 \cdot (10a + b)$

Раскроем скобки в правой части:

$100a + b = 60a + 6b$

Сгруппируем слагаемые с $a$ в левой части, а с $b$ — в правой:

$100a - 60a = 6b - b$

$40a = 5b$

Разделим обе части на 5, чтобы найти соотношение между $a$ и $b$:

$8a = b$

Теперь необходимо найти цифры $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому равенству и ограничениям ($1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$).

Рассмотрим возможные значения для $a$:

Если $a=1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимые значения для цифр, так как $b=8$ находится в диапазоне от 0 до 9.

Если $a=2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение недопустимо, так как $b$ должна быть однозначной цифрой (не больше 9).

Для любого значения $a$, большего 1, значение $b$ также будет больше 9, что недопустимо.

Таким образом, единственно возможной парой цифр является $a=1$ и $b=8$.

Следовательно, искомое двузначное число $x$ равно:

$x = 10a + b = 10 \cdot 1 + 8 = 18$

Проверим найденное решение. Исходное число 18. Новое число, образованное вставкой 18 между 1 и 8, это 1188. Соотношение нового и старого чисел: $1188 / 18 = 66$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 18.

787. Доказать, что сумма $333^{555}+555^{333}$ делится на 37.

Для доказательства того, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37, преобразуем данное выражение, используя свойства делимости и степеней.

Сначала проверим, делятся ли основания степеней, числа 333 и 555, на 37.

Выполним деление 333 на 37:

$333 \div 37 = 9$

Следовательно, число 333 можно представить как произведение $9 \times 37$.

Теперь выполним деление 555 на 37:

$555 \div 37 = 15$

Следовательно, число 555 можно представить как произведение $15 \times 37$.

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$333^{555} + 555^{333} = (9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333}$

Используя свойство степени произведения, которое гласит $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333} = 9^{555} \cdot 37^{555} + 15^{333} \cdot 37^{333}$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель в виде степени числа 37. Мы можем вынести за скобки общий множитель $37$ в наименьшей из присутствующих степеней, то есть $37^{333}$:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{555-333} + 15^{333})$

Упростим показатель степени у числа 37 внутри скобок:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333})$

Обозначим выражение в скобках как $K$: $K = 9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333}$. Поскольку числа 9, 37, 15, 555 и 222 являются целыми, то и результат вычисления $K$ будет целым числом.

Таким образом, исходная сумма может быть представлена в виде произведения:

$333^{555} + 555^{333} = 37^{333} \cdot K$

Так как исходное выражение является произведением целого числа $K$ и числа $37^{333}$, которое, очевидно, кратно 37, то и вся сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37.

788. Доказать, что сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ делится на 10.

Для того чтобы доказать, что сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ делится на 10, достаточно показать, что ее последняя цифра равна 0. Последняя цифра суммы определяется последней цифрой суммы последних цифр слагаемых. Найдем последнюю цифру для каждого члена суммы.

1. Последняя цифра $11^{11}$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.
Например: $11^1 = 11$, $11^2 = 121$.
Следовательно, последняя цифра числа $11^{11}$ — это 1.
С помощью сравнений по модулю 10: $11 \equiv 1 \pmod{10}$, поэтому $11^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{10}$.

2. Последняя цифра $12^{12}$
Последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа $2^{12}$. Рассмотрим последние цифры степеней двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Последовательность последних цифр (2, 4, 8, 6) циклична с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру $2^{12}$, нужно посмотреть на остаток от деления показателя степени 12 на длину цикла 4.
$12 \div 4 = 3$ с остатком 0. Остаток 0 означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента цикла, то есть 6.
С помощью сравнений по модулю 10: $12 \equiv 2 \pmod{10}$, поэтому $12^{12} \equiv 2^{12} = (2^4)^3 \equiv 6^3 \equiv 6 \pmod{10}$.
Таким образом, последняя цифра числа $12^{12}$ — это 6.

3. Последняя цифра $13^{13}$
Последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа $3^{13}$. Рассмотрим последние цифры степеней тройки:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 13 на 4:
$13 \div 4 = 3$ с остатком 1. Остаток 1 означает, что последняя цифра будет такой же, как у первого элемента цикла, то есть 3.
С помощью сравнений по модулю 10: $13 \equiv 3 \pmod{10}$, поэтому $13^{13} \equiv 3^{13} = 3^{4 \cdot 3 + 1} = (3^4)^3 \cdot 3^1 \equiv 1^3 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{10}$.
Таким образом, последняя цифра числа $13^{13}$ — это 3.

Теперь сложим найденные последние цифры:$1 + 6 + 3 = 10$.
Последняя цифра суммы равна 0. Следовательно, вся сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ оканчивается на 0, а любое число, оканчивающееся на 0, делится на 10.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Поскольку последняя цифра суммы $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ равна 0, то эта сумма делится на 10.

789. Какой цифрой оканчивается степень $1982^{1982}$?

Чтобы найти последнюю цифру числа $1982^{1982}$, нужно проанализировать, как меняется последняя цифра при возведении в степень числа, оканчивающегося на 2. Последняя цифра выражения $1982^{1982}$ совпадает с последней цифрой выражения $2^{1982}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
$2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Последние цифры степеней числа 2 образуют повторяющуюся последовательность (цикл) из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Длина этого цикла равна 4.

Чтобы определить, какая цифра будет последней у $2^{1982}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 1982 на длину цикла 4.

$1982 \div 4$

Можно разделить столбиком или заметить, что $1980$ делится на 4 ($1980 = 4 \times 495$). Тогда:$1982 = 1980 + 2 = 4 \times 495 + 2$

Остаток от деления равен 2. Это означает, что последняя цифра степени $1982^{1982}$ будет такой же, как у второго члена нашего цикла.

Если остаток равен 1, последняя цифра — 2.
Если остаток равен 2, последняя цифра — 4.
Если остаток равен 3, последняя цифра — 8.
Если остаток равен 0, последняя цифра — 6.

Так как остаток равен 2, последняя цифра числа $1982^{1982}$ — это 4.

Ответ: 4

790. Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100?

Для того чтобы определить, сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100, необходимо найти количество нулей в конце числа $100!$ (100 факториал), которое представляет собой произведение $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 100$.

Каждый ноль в конце числа образуется за счет произведения множителей 2 и 5, так как $10 = 2 \times 5$. Чтобы найти общее количество нулей, нам нужно посчитать, сколько пар множителей $(2, 5)$ содержится в разложении числа $100!$ на простые множители.

Множителей 2 в этом произведении значительно больше, чем множителей 5, поскольку каждое второе число (2, 4, 6, ...) является четным и дает как минимум один множитель 2. Множители 5 встречаются реже (только в числах, кратных 5). Поэтому количество нулей определяется именно количеством множителей 5, так как для каждой пятерки найдется соответствующая двойка.

Найдем, сколько раз множитель 5 встречается в произведении чисел от 1 до 100.

1. Сначала посчитаем все числа от 1 до 100, которые делятся на 5. Это числа 5, 10, 15, ..., 100. Их количество можно найти, разделив 100 на 5:
$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$
Таким образом, мы нашли 20 чисел, каждое из которых дает как минимум один множитель 5.

2. Некоторые из этих чисел делятся не просто на 5, а на $5^2 = 25$. Эти числа (25, 50, 75, 100) содержат дополнительный множитель 5. Посчитаем их количество:
$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$
Эти 4 числа дают по одному дополнительному множителю 5, который мы не учли на первом шаге.

3. Следующая степень пятерки — $5^3 = 125$. Поскольку $125 > 100$, чисел, кратных 125, в диапазоне от 1 до 100 нет.

Теперь сложим все найденные множители 5:
Общее количество множителей 5 равно $20 + 4 = 24$.

Следовательно, в разложении числа $100!$ на простые множители содержится 24 пятерки. Так как двоек заведомо больше, мы можем образовать 24 пары $(2, 5)$, каждая из которых даст один ноль в конце числа.

Ответ: 24

791. Доказать, что сумма $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9.

Чтобы доказать, что выражение $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9, можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Использование сравнений по модулю

Этот метод является наиболее быстрым и элегантным. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 9 равен 0. В математике это записывается как $N \equiv 0 \pmod{9}$.

Рассмотрим остаток от деления числа 10 на 9:
$10 = 1 \cdot 9 + 1$, следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{9}$.

Это свойство распространяется на любую натуральную степень числа 10:
$10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Применим это свойство к членам нашего выражения:
$10^{15} \equiv 1 \pmod{9}$
$10^{17} \equiv 1 \pmod{9}$

Теперь найдем, какой остаток дает число 74 при делении на 9. Сумма его цифр $7 + 4 = 11$. При делении 11 на 9 остаток равен 2. Значит:
$74 \equiv 2 \pmod{9}$.

Подставим полученные сравнения в исходное выражение:
$10^{15} + 10^{17} - 74 \equiv (1 + 1 - 2) \pmod{9}$
$\equiv 0 \pmod{9}$.

Так как выражение $10^{15} + 10^{17} - 74$ сравнимо с нулем по модулю 9, оно делится на 9 без остатка.

Способ 2: Использование признака делимости на 9 (по сумме цифр)

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для этого сначала преобразуем выражение в число.

Сумма $10^{15} + 10^{17}$ — это число, состоящее из цифр 1, 0, 1, за которыми следуют 15 нулей: $101\underbrace{00...0}_{15}$.

Теперь вычтем из этого числа 74:
$101\underbrace{00...0}_{15} - 74$

При вычитании "в столбик" из числа, оканчивающегося на ...00, мы "занимаем" у старших разрядов. В результате получаем число вида $100\underbrace{99...9}_{13}26$.

Найдем сумму цифр полученного числа:
Сумма цифр = $1 + 0 + 0 + \underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{13 \text{ раз}} + 2 + 6 = 1 + 13 \times 9 + 8 = 1 + 117 + 8 = 126$.

Проверим, делится ли 126 на 9. Сумма цифр числа 126 равна $1 + 2 + 6 = 9$.
Поскольку 9 делится на 9, то и число 126 делится на 9 ($126 = 14 \times 9$).

Так как сумма цифр числа $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9, то и само число делится на 9.

Ответ: Оба способа показывают, что данное выражение делится на 9, что и требовалось доказать.

792. Доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Требуется доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$. Для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3, так как 6 = 2 · 3, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Метод алгебраических преобразований

Преобразуем исходное выражение, выделив слагаемые, делимость которых на 6 очевидна или легко доказуема. Представим $11n$ как $-n + 12n$: $n^3 + 11n = n^3 - n + 12n$

Теперь проанализируем получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $12n$.
1. Слагаемое $12n$ очевидно делится на 6, так как $12n = 6 \cdot (2n)$.
2. Слагаемое $n^3 - n$ разложим на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$.

Выражение $(n-1)n(n+1)$ — это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное (делящееся на 2) и ровно одно, кратное трем (делящееся на 3). Поскольку произведение делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.

Итак, мы представили исходное выражение $n^3 + 11n$ в виде суммы двух слагаемых, $(n^3 - n)$ и $12n$, каждое из которых делится на 6. Сумма двух чисел, делящихся на 6, также делится на 6. Следовательно, значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2: Метод математической индукции

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли утверждение для $n=1$.
$1^3 + 11 \cdot 1 = 1 + 11 = 12$.
Число 12 делится на 6 ($12 = 6 \cdot 2$). База индукции верна.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $k^3 + 11k$ делится на 6. Это значит, что существует такое целое число $m$, что $k^3 + 11k = 6m$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$. То есть докажем, что выражение $(k+1)^3 + 11(k+1)$ делится на 6.
Преобразуем это выражение:
$(k+1)^3 + 11(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (11k + 11) = k^3 + 3k^2 + 14k + 12$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать индукционное предположение:
$(k^3 + 11k) + 3k^2 + 3k + 12$.
Заменим $(k^3 + 11k)$ на $6m$:
$6m + 3k^2 + 3k + 12 = 6(m+2) + 3k(k+1)$.

Рассмотрим полученную сумму $6(m+2) + 3k(k+1)$. Первое слагаемое, $6(m+2)$, очевидно делится на 6. Второе слагаемое, $3k(k+1)$, также делится на 6, поскольку $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных чисел, которое всегда четно (делится на 2). Значит, $3k(k+1)$ делится на $3 \cdot 2 = 6$.

Следовательно, выражение для $n=k+1$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых кратно 6, а значит, и вся сумма кратна 6.
Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

793. Доказать, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить те из них, которые заведомо делятся на 3:

$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 + 5n) + (3n^2 + 3)$

Рассмотрим каждое слагаемое в скобках по отдельности.

Второе слагаемое, $3n^2 + 3$, можно преобразовать, вынеся 3 за скобки: $3(n^2 + 1)$. Это произведение делится на 3, так как один из его множителей равен 3.

Теперь докажем, что первое слагаемое, $n^3 + 5n$, также делится на 3. Преобразуем его, представив $5n$ как $-n + 6n$:

$n^3 + 5n = n^3 - n + 6n$

Слагаемое $6n$ делится на 3, поскольку $6n = 3 \cdot (2n)$.

Рассмотрим слагаемое $n^3 - n$. Разложим его на множители, вынеся $n$ за скобку и применив формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставим множители для наглядности: $(n-1)n(n+1)$. Это выражение является произведением трех последовательных целых чисел. В любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно кратно трем. Следовательно, их произведение всегда делится на 3.

Таким образом, мы показали, что $n^3 - n$ делится на 3. Так как $6n$ также делится на 3, то их сумма $(n^3 - n) + 6n = n^3 + 5n$ тоже делится на 3.

Вернемся к исходному выражению в преобразованном виде:

$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 + 5n) + 3(n^2 + 1)$

Мы установили, что оба слагаемых в правой части равенства, $(n^3 + 5n)$ и $3(n^2 + 1)$, делятся на 3. Сумма двух чисел, кратных трем, всегда кратна трем.

Следовательно, выражение $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

794. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 30.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^5 - n$ делится на 30 при любом целом $n$, необходимо показать, что оно делится на 2, 3 и 5, поскольку $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, а числа 2, 3 и 5 являются взаимно простыми.

Для начала разложим данное выражение на множители:

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$.

Для удобства анализа перегруппируем множители: $(n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$.

Доказательство делимости на 2 и 3

Множитель $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно найдется как минимум одно четное число (делящееся на 2) и ровно одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение $(n - 1)n(n + 1)$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$. Поскольку это произведение является частью исходного выражения, то и всё выражение $n^5 - n$ делится на 2 и на 3.

Доказательство делимости на 5

Докажем, что выражение $(n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$ делится на 5. Для этого рассмотрим все возможные остатки от деления числа $n$ на 5.

• Если $n$ делится на 5 (т.е. $n = 5k$ для некоторого целого $k$), то множитель $n$ в произведении делится на 5, а значит, и все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 1 (т.е. $n = 5k + 1$), то множитель $(n - 1) = (5k + 1) - 1 = 5k$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 2 (т.е. $n = 5k + 2$), то множитель $(n^2 + 1) = (5k + 2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 = 5(5k^2 + 4k + 1)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 3 (т.е. $n = 5k + 3$), то множитель $(n^2 + 1) = (5k + 3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2 + 6k + 2)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

• Если $n$ при делении на 5 дает в остатке 4 (т.е. $n = 5k + 4$), то множитель $(n + 1) = (5k + 4) + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)$ делится на 5. Следовательно, все выражение делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и убедились, что при любом целом $n$ выражение $n^5 - n$ делится на 5.

Заключение

Мы установили, что выражение $n^5 - n$ делится на 2, 3 и 5 при любом целом $n$. Так как эти числа являются взаимно простыми, то выражение должно делиться и на их произведение, равное $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: Утверждение доказано. При любом целом $n$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 30.

795. Доказать, что при любом целом $n$ значение выражения $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120.

Чтобы доказать, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом целом $n$, необходимо сначала упростить и разложить это выражение на множители.

Шаг 1: Вынесем общий множитель $n$ за скобки.

$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$

Шаг 2: Разложим на множители выражение в скобках. Это биквадратный трехчлен, который можно разложить как квадратный относительно $n^2$.

$n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2)^2 - 5(n^2) + 4$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$, где $x = n^2$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=4$.

Тогда разложение будет иметь вид: $(n^2 - 1)(n^2 - 4)$.

Шаг 3: Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для каждого из полученных множителей.

$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$

$n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$

Шаг 4: Соберем все множители вместе.

$n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Переставим множители в порядке возрастания для наглядности:

$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Полученное выражение является произведением пяти последовательных целых чисел.

Шаг 5: Докажем, что произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на 120.

Разложим число 120 на простые множители: $120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5$.

Чтобы доказать делимость на 120, нам нужно доказать, что выражение делится на 3, на 5 и на 8, поскольку эти числа являются взаимно простыми.

• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3. В нашей последовательности из пяти чисел такое число гарантированно есть. Следовательно, произведение делится на 3.
• Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел одно всегда делится на 5. Наше выражение как раз является произведением пяти таких чисел. Следовательно, произведение делится на 5.
• Делимость на 8: Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Рассмотрим последовательность из четырех последовательных чисел, которая является частью нашей последовательности. В ней всегда есть два четных числа, одно из которых делится на 4. Например, в последовательности $k, k+1, k+2, k+3$, если $k$ четное, то числа $k$ и $k+2$ — четные. Одно из них кратно 4. Если $k$ нечетное, то четные числа — $k+1$ и $k+3$, и одно из них кратно 4. Таким образом, произведение этих двух четных чисел всегда делится на $2 \times 4 = 8$. Так как в нашей последовательности из пяти чисел точно есть такая подпоследовательность из четырех, то все произведение делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится одновременно на 3, 5 и 8, а эти числа взаимно просты, то оно делится и на их произведение:

$3 \times 5 \times 8 = 120$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом целом $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

796. Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение:

Обозначим искомое пятизначное число как $N = \overline{abcde}$, где $a, b, c, d, e$ – его цифры. При этом, так как число пятизначное, $a \neq 0$. В виде суммы разрядных слагаемых число можно записать так:
$N = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $N' = \overline{edcba}$.
$N' = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a$

По условию задачи, при умножении исходного числа на 9 получается число с обратным порядком цифр. Также дано, что результат умножения является пятизначным числом. Это значит, что $e \neq 0$. Запишем это в виде уравнения:
$9 \times \overline{abcde} = \overline{edcba}$
$9 \times (10000a + 1000b + 100c + 10d + e) = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a$

Теперь будем последовательно находить цифры.

1. Найдем цифру $a$.
Поскольку произведение $9 \times N$ является пятизначным числом, оно должно быть меньше 100 000.
$9 \times \overline{abcde} < 100000$
$\overline{abcde} < \frac{100000}{9} \approx 11111.11$
Так как $a$ – первая цифра числа, она не может быть равна нулю ($a \ge 1$). Из полученного неравенства следует, что единственное возможное значение для $a$ – это 1.
Итак, $a = 1$.

2. Найдем цифру $e$.
Теперь наше уравнение выглядит так: $9 \times \overline{1bcde} = \overline{edcb1}$.
Рассмотрим последнюю цифру произведения. При умножении числа $\overline{1bcde}$ на 9 последняя цифра результата будет такой же, как последняя цифра произведения $9 \times e$. С другой стороны, последняя цифра числа $\overline{edcb1}$ равна 1.
Следовательно, последняя цифра произведения $9 \times e$ должна быть 1. Проверив таблицу умножения на 9, находим, что этому условию удовлетворяет только $e=9$ ($9 \times 9 = 81$).
Итак, $e = 9$.

3. Найдем цифру $b$.
Наше число имеет вид $\overline{1bcd9}$. Уравнение принимает вид: $9 \times \overline{1bcd9} = \overline{9dcb1}$.
Поскольку первая цифра числа $\overline{1bcd9}$ равна 1, то при умножении на 9 результат $9 \times 1 = 9$ дает первую цифру итогового числа $\overline{9dcb1}$. Это означает, что при умножении следующей цифры ($b$) на 9 не должно быть переноса в старший разряд (в разряд десятков тысяч).
Произведение $9 \times b$ должно быть меньше 10. Этому условию удовлетворяют два значения: $b=0$ ($9 \times 0 = 0$) и $b=1$ ($9 \times 1 = 9$).
Рассмотрим оба случая, подставив известные значения $a=1$ и $e=9$ в исходное развернутое уравнение:
$9 \times (10000 + 1000b + 100c + 10d + 9) = 90000 + 1000d + 100c + 10b + 1$
$90000 + 9000b + 900c + 90d + 81 = 90000 + 1000d + 100c + 10b + 1$
$8990b + 800c - 910d = -80$
Разделим на 10: $899b + 80c - 91d = -8$, или $899b + 80c + 8 = 91d$.
Если $b=1$, то $899(1) + 80c + 8 = 91d \implies 907 + 80c = 91d$.
Так как $d$ – цифра, максимальное значение правой части $91 \times 9 = 819$. Минимальное значение левой части (при $c=0$) равно 907. Получаем противоречие $907 \le 819$. Значит, $b=1$ не является решением.
Следовательно, $b = 0$.

4. Найдем цифры $c$ и $d$.
Подставим $b=0$ в уравнение $899b + 80c + 8 = 91d$:
$899(0) + 80c + 8 = 91d \implies 80c + 8 = 91d$.
$8(10c + 1) = 91d$.
Поскольку 8 и 91 – взаимно простые числа, выражение $(10c+1)$ должно быть кратно 91.
Переберем возможные значения для цифры $c$ от 0 до 9.
При $c=9$ получаем $10 \times 9 + 1 = 91$. Это значение кратно 91. Никакое другое значение $c$ от 0 до 8 не дает число, кратное 91.
Итак, $c = 9$.
Теперь найдем $d$, подставив $c=9$ в уравнение:
$80(9) + 8 = 91d$
$720 + 8 = 91d$
$728 = 91d$
$d = \frac{728}{91} = 8$.
Итак, $d = 8$.

Мы нашли все цифры: $a=1, b=0, c=9, d=8, e=9$.
Искомое пятизначное число: 10989.

Проверка:
Умножим найденное число на 9:
$10989 \times 9 = 98901$.
Число, записанное цифрами числа 10989 в обратном порядке, это 98901.
Условие $9 \times 10989 = 98901$ выполняется.

Ответ: 10989.

797. Доказать, что разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

Пусть исходное трёхзначное число равно $N$. Его можно представить в виде десятичной записи: $N = 100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — его цифры. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, в то время как $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $N_{rev} = 100c + 10b + a$.

Найдём разность этих чисел. Так как квадрат натурального числа всегда положителен, будем рассматривать абсолютное значение разности:$D = |N - N_{rev}| = |(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)|$

Упростим это выражение:$D = |100a - a + 10b - 10b + c - 100c| = |99a - 99c| = 99 \cdot |a - c|$

Мы должны доказать, что $D$ не может равняться квадрату натурального числа. Предположим обратное: пусть существует такое натуральное число $k$ ($k \ge 1$), что $D = k^2$.$99 \cdot |a - c| = k^2$

Если $a = c$, то разность $D = 99 \cdot 0 = 0$. Но $0$ не является квадратом натурального числа (натуральные числа — это $1, 2, 3, ...$, их квадраты — $1, 4, 9, ...$). Значит, $a \neq c$.

Разложим число 99 на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Наше уравнение принимает вид:$3^2 \cdot 11 \cdot |a - c| = k^2$

Для того чтобы левая часть уравнения была полным квадратом, каждый простой множитель в её разложении должен входить в чётной степени. Множитель $3$ уже имеет чётную степень (2). Множитель $11$ имеет нечётную степень (1). Чтобы степень стала чётной, выражение $|a - c|$ должно содержать множитель $11$ в нечётной степени. Таким образом, $|a - c|$ должно быть кратно 11. То есть, $|a - c|$ должно иметь вид $11 \cdot m^2$ для некоторого целого $m \ge 1$ (поскольку $a \neq c$).

Наименьшее возможное значение для $|a - c|$ при этом условии равно $11 \cdot 1^2 = 11$.

Теперь рассмотрим, какие значения в принципе может принимать величина $|a - c|$. Так как $a$ — это цифра от 1 до 9, а $c$ — цифра от 0 до 9, то их разность $a - c$ находится в диапазоне от $1-9=-8$ до $9-0=9$. Соответственно, модуль разности $|a - c|$ может принимать целые значения от 1 (так как $a \neq c$) до 9.$1 \le |a - c| \le 9$

Возникло противоречие. С одной стороны, для того чтобы разность $D$ была квадратом натурального числа, требуется, чтобы $|a - c|$ было кратно 11, т.е. было не меньше 11. С другой стороны, максимальное значение $|a - c|$ как разности двух цифр не может превышать 9.

Следовательно, наше исходное предположение неверно, и разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано.

798. Доказать, что если $x$ и $y$ — целые числа, такие, что число $3x+8y$ делится на 17, то $35x+65y$ также делится на 17.

По условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми числами, и число $3x + 8y$ делится на 17. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $3x + 8y = 17k$.

Нам необходимо доказать, что число $35x + 65y$ также делится на 17.

Для этого преобразуем выражение $35x + 65y$, стараясь представить его в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на 17. Для этого выразим его через данное нам выражение $3x + 8y$.

Выполним следующее тождественное преобразование:

$35x + 65y = (18x + 17x) + (48y + 17y)$

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому:

$35x + 65y = (18x + 48y) + (17x + 17y)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$35x + 65y = 6(3x + 8y) + 17(x + y)$

Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она представляет собой сумму двух слагаемых:

1. Первое слагаемое: $6(3x + 8y)$. По условию задачи, выражение в скобках $(3x + 8y)$ делится на 17. Следовательно, и все произведение $6(3x + 8y)$ делится на 17.

2. Второе слагаемое: $17(x + y)$. Это выражение очевидно делится на 17, так как содержит множитель 17, а $x$ и $y$ — целые числа.

Поскольку оба слагаемых в полученной сумме, $6(3x + 8y)$ и $17(x + y)$, делятся на 17, то и вся их сумма делится на 17. А так как эта сумма равна исходному выражению $35x + 65y$, то и оно делится на 17.

Таким образом, мы доказали, что если $3x + 8y$ делится на 17, то и $35x + 65y$ также делится на 17.

Ответ: Утверждение доказано.

799. Доказать, что сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на анализе остатков при делении на 4.

1. Представление нечётных чисел и суммы их квадратов.
Пусть $a$ и $b$ — два произвольных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Следовательно, мы можем записать $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$ для некоторых целых неотрицательных чисел $k$ и $m$.
Найдём сумму их квадратов:
$S = a^2 + b^2 = (2k+1)^2 + (2m+1)^2$
Раскроем скобки:
$S = (4k^2 + 4k + 1) + (4m^2 + 4m + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = 4k^2 + 4k + 4m^2 + 4m + 2 = 4(k^2 + k + m^2 + m) + 2$
Из полученного выражения видно, что сумма квадратов двух нечётных чисел при делении на 4 всегда даёт в остатке 2.

2. Анализ квадрата натурального числа.
Теперь рассмотрим, какой остаток при делении на 4 может давать квадрат произвольного натурального числа $c$. Любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным.

• Если число $c$ — чётное, то его можно представить в виде $c=2n$, где $n$ — натуральное число.
  Тогда его квадрат равен $c^2 = (2n)^2 = 4n^2$.
  Квадрат чётного числа делится на 4 без остатка, то есть остаток от деления на 4 равен 0.
• Если число $c$ — нечётное, то его можно представить в виде $c=2n+1$, где $n$ — целое неотрицательное число.
  Тогда его квадрат равен $c^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2+n) + 1$.
  Квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт в остатке 1.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.

3. Вывод.
Мы установили, что сумма квадратов двух нечётных чисел при делении на 4 даёт остаток 2. В то же время, квадрат любого натурального числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1.
Поскольку остаток 2 никогда не равен остатку 0 или 1, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть равна квадрату натурального числа.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов двух нечётных чисел всегда имеет вид $4k+2$ (т.е. даёт остаток 2 при делении на 4), а квадрат натурального числа может иметь только вид $4n$ или $4n+1$ (т.е. даёт остаток 0 или 1 при делении на 4). Так как эти результаты несовместимы, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа.

800. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа.

Пусть пять последовательных натуральных чисел можно представить в виде $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 3$.

Найдем сумму их квадратов $S$:$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$$S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$$S = 5n^2 + 10$$S = 5(n^2 + 2)$

Теперь необходимо доказать, что полученное выражение не является квадратом натурального числа. Будем доказывать от противного. Предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$, то есть $S = k^2$.

Тогда мы имеем равенство:$k^2 = 5(n^2 + 2)$

Из этого равенства видно, что $k^2$ делится на 5. Поскольку 5 является простым числом, то и само число $k$ должно быть кратно 5. Представим $k$ в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим это выражение для $k$ в наше уравнение:$(5m)^2 = 5(n^2 + 2)$$25m^2 = 5(n^2 + 2)$

Разделим обе части уравнения на 5:$5m^2 = n^2 + 2$

Рассмотрим это равенство по модулю 5. Левая часть, $5m^2$, очевидно, делится на 5, то есть ее остаток от деления на 5 равен 0.$5m^2 \equiv 0 \pmod{5}$

Следовательно, и правая часть должна давать остаток 0 при делении на 5:$n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$$n^2 \equiv -2 \pmod{5}$$n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что квадрат натурального числа $n$ при делении на 5 должен давать в остатке 3. Проверим, какие остатки могут давать квадраты натуральных чисел при делении на 5:

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел при делении на 5 дает остаток 2 или 3, в то время как квадрат натурального числа может давать при делении на 5 только остатки 0, 1 или 4. Следовательно, эта сумма не может быть квадратом натурального числа.