Страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

761. Доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ и $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ связаны равенством $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$, то по крайней мере одно из этих уравнений имеет действительные корни.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Напомним, что квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Для первого уравнения $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ дискриминант $D_1 = p_1^2 - 4q_1$.

Для второго уравнения $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ дискриминант $D_2 = p_2^2 - 4q_2$.

Нам необходимо доказать, что если выполняется равенство $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$, то хотя бы одно из условий $D_1 \ge 0$ или $D_2 \ge 0$ является верным.

Предположим обратное: пусть оба уравнения не имеют действительных корней. Это значит, что их дискриминанты строго отрицательны:

$D_1 < 0 \implies p_1^2 - 4q_1 < 0 \implies p_1^2 < 4q_1$

$D_2 < 0 \implies p_2^2 - 4q_2 < 0 \implies p_2^2 < 4q_2$

Сложим эти два неравенства почленно:

$p_1^2 + p_2^2 < 4q_1 + 4q_2$

$p_1^2 + p_2^2 < 4(q_1 + q_2)$

Теперь используем данное в условии равенство $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$. Из него можно выразить сумму $q_1 + q_2$:

$q_1 + q_2 = \frac{p_1p_2}{2}$

Подставим это выражение в неравенство, полученное из нашего предположения:

$p_1^2 + p_2^2 < 4 \left(\frac{p_1p_2}{2}\right)$

$p_1^2 + p_2^2 < 2p_1p_2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$p_1^2 - 2p_1p_2 + p_2^2 < 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:

$(p_1 - p_2)^2 < 0$

Мы получили противоречие. Квадрат любого действительного числа (а коэффициенты $p_1$ и $p_2$ являются действительными числами) не может быть отрицательным. Для любых $p_1$ и $p_2$ всегда выполняется $(p_1 - p_2)^2 \ge 0$.

Так как наше исходное предположение (о том, что оба уравнения не имеют действительных корней) привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, верным является обратное утверждение: по крайней мере одно из уравнений имеет действительные корни.

Ответ: Утверждение доказано.

762. Разложить многочлен на множители:

1) $a^4 - 2a^2 - 3$;

2) $a^4 - 5a^2 + 4$.

1) Чтобы разложить многочлен $a^4 - 2a^2 - 3$ на множители, воспользуемся методом замены переменной, так как это биквадратный многочлен. Пусть $x = a^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена: $x^2 - 2x - 3$. Для разложения этого трехчлена на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Таким образом, квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x - (-1)) = (x - 3)(x + 1)$. Теперь выполним обратную замену, подставив $a^2$ вместо $x$: $(a^2 - 3)(a^2 + 1)$. Это и есть окончательное разложение на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(a^2 - 3)(a^2 + 1)$

2) Многочлен $a^4 - 5a^2 + 4$ также является биквадратным. Применим замену переменной: пусть $x = a^2$. Получим квадратный трехчлен: $x^2 - 5x + 4$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Следовательно, разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. Выполним обратную замену $x = a^2$: $(a^2 - 1)(a^2 - 4)$. Оба множителя в полученном выражении представляют собой разность квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$: $a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$ $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$ Собирая все множители вместе, получаем окончательный результат: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$

763. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2}$;

2) $\frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2}$;

3) $\frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2}$.

1) $\frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2}$

Чтобы сократить дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель. Оба являются однородными многочленами второй степени, их можно разложить как квадратные трехчлены.

Разложим на множители числитель $a^2 + ab - 6b^2$. Представим средний член $ab$ в виде разности $3ab - 2ab$ и применим метод группировки:

$a^2 + 3ab - 2ab - 6b^2 = a(a+3b) - 2b(a+3b) = (a-2b)(a+3b)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 - ab - 2b^2$. Представим средний член $-ab$ в виде разности $ab - 2ab$ и сгруппируем:

$a^2 - 2ab + ab - 2b^2 = a(a-2b) + b(a-2b) = (a-2b)(a+b)$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в дробь:

$\frac{(a-2b)(a+3b)}{(a-2b)(a+b)}$

Сократим на общий множитель $(a-2b)$, предполагая, что $a \neq 2b$.

$\frac{a+3b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a+3b}{a+b}$

2) $\frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Будем рассматривать их как квадратные трехчлены относительно переменной $a$.

Для числителя $2a^2 + 5ab - 3b^2$ найдем корни уравнения $2a^2 + (5b)a - 3b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (5b)^2 - 4(2)(-3b^2) = 25b^2 + 24b^2 = 49b^2 = (7b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-5b+7b}{2 \cdot 2} = \frac{2b}{4} = \frac{b}{2}$; $a_2 = \frac{-5b-7b}{2 \cdot 2} = \frac{-12b}{4} = -3b$.

Следовательно, разложение числителя: $2(a - \frac{b}{2})(a - (-3b)) = (2a-b)(a+3b)$.

Для знаменателя $4a^2 + 4ab - 3b^2$ найдем корни уравнения $4a^2 + (4b)a - 3b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (4b)^2 - 4(4)(-3b^2) = 16b^2 + 48b^2 = 64b^2 = (8b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-4b+8b}{2 \cdot 4} = \frac{4b}{8} = \frac{b}{2}$; $a_2 = \frac{-4b-8b}{2 \cdot 4} = \frac{-12b}{8} = -\frac{3b}{2}$.

Следовательно, разложение знаменателя: $4(a - \frac{b}{2})(a - (-\frac{3b}{2})) = 2(a - \frac{b}{2}) \cdot 2(a + \frac{3b}{2}) = (2a-b)(2a+3b)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2a-b)(a+3b)}{(2a-b)(2a+3b)}$

Сократим на общий множитель $(2a-b)$, предполагая, что $2a \neq b$.

$\frac{a+3b}{2a+3b}$

Ответ: $\frac{a+3b}{2a+3b}$

3) $\frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель $8a^3 + 27b^3$ является суммой кубов, так как $8a^3 = (2a)^3$ и $27b^3 = (3b)^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$8a^3 + 27b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 = (2a+3b)((2a)^2 - (2a)(3b) + (3b)^2) = (2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$.

Знаменатель $2a^2 + ab - 3b^2$ разложим на множители, решив квадратное уравнение $2a^2 + (b)a - 3b^2 = 0$ относительно $a$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4(2)(-3b^2) = b^2 + 24b^2 = 25b^2 = (5b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b+5b}{2 \cdot 2} = \frac{4b}{4} = b$; $a_2 = \frac{-b-5b}{2 \cdot 2} = \frac{-6b}{4} = -\frac{3b}{2}$.

Следовательно, разложение знаменателя: $2(a-b)(a-(-\frac{3b}{2})) = (a-b)(2a+3b)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)}{(a-b)(2a+3b)}$

Сократим на общий множитель $(2a+3b)$, предполагая, что $2a \neq -3b$.

$\frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a-b}$

764. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 с и с той же скоростью за 25 с мимо платформы длиной 378 м.

Для решения задачи введем переменные: пусть $v$ – скорость поезда в м/с, а $l$ – его длина в метрах.

Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, он преодолевает расстояние, равное своей длине $l$. По условию, это занимает 7 секунд. На основе формулы расстояния $S = v \cdot t$ можно составить первое уравнение:
$l = 7v$

Когда поезд проезжает мимо платформы длиной 378 м, общее расстояние, которое он проходит (с момента, когда "голова" поезда въезжает на платформу, до момента, когда "хвост" поезда ее покидает), равно сумме длин поезда и платформы, то есть $l + 378$ м. Это расстояние поезд преодолевает за 25 секунд. Составим второе уравнение:
$l + 378 = 25v$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} l = 7v \\ l + 378 = 25v \end{cases} $
Для ее решения подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе:
$7v + 378 = 25v$
Выразим из этого уравнения скорость $v$:
$25v - 7v = 378$
$18v = 378$
$v = \frac{378}{18}$
$v = 21$ (м/с)

Мы нашли скорость поезда. Теперь найдем его длину, подставив найденное значение $v$ в первое уравнение:
$l = 7v = 7 \cdot 21$
$l = 147$ (м)

Ответ: скорость поезда составляет 21 м/с, а его длина – 147 м.

765. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идёт с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

Для решения этой задачи примем всю длину эскалатора за 1 (одну условную единицу). Введем скорости, измеряя их в долях эскалатора в секунду.
Пусть $v_п$ – это скорость пассажира относительно эскалатора, а $v_э$ – скорость самого эскалатора.

1. Пассажир идет по движущемуся эскалатору.
Когда пассажир спускается по движущемуся эскалатору, его скорость складывается со скоростью эскалатора. Общая скорость равна $v_п + v_э$.
Весь путь (1) он проходит за 24 секунды. Значит, их суммарная скорость:
$v_п + v_э = \frac{1}{24}$ эскалатора/с.

2. Пассажир идет по неподвижному эскалатору.
В этом случае скорость эскалатора равна нулю, и пассажир движется только за счет своей скорости $v_п$.
Он проходит весь путь (1) за 42 секунды. Следовательно, его собственная скорость:
$v_п = \frac{1}{42}$ эскалатора/с.

3. Находим скорость эскалатора.
Теперь мы можем найти скорость эскалатора, вычтя скорость пассажира из их суммарной скорости:
$v_э = (v_п + v_э) - v_п = \frac{1}{24} - \frac{1}{42}$.
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 24 и 42 это 168.
$v_э = \frac{7}{168} - \frac{4}{168} = \frac{3}{168} = \frac{1}{56}$ эскалатора/с.

4. Находим время спуска, стоя на эскалаторе.
Вопрос задачи — найти время, за которое пассажир спустится, если будет просто стоять на движущемся эскалаторе. В этом случае он будет двигаться со скоростью эскалатора $v_э$.
Время $t$ находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S=1$ (вся длина эскалатора), а $v = v_э$.
$t = \frac{1}{v_э} = \frac{1}{1/56} = 56$ секунд.

Ответ: 56 с.

766. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ — длина кольцевой дороги, $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей. Время, за которое каждый автомобиль проезжает всю трассу, обозначим как $t_1 = S/v_1$ и $t_2 = S/v_2$. Без ограничения общности будем считать, что $v_1 > v_2$.

1. Движение в одном направлении

Когда автомобили движутся в одном направлении, они оказываются рядом, когда более быстрый автомобиль обгоняет более медленный, то есть проходит на один круг больше. Относительная скорость, с которой быстрый автомобиль удаляется от медленного, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$. Время, за которое расстояние между ними становится равным длине круга $S$, составляет 56 минут. Таким образом, можно составить уравнение:

$S = (v_1 - v_2) \cdot 56$

Отсюда следует, что разность скоростей равна:

$v_1 - v_2 = S / 56$

2. Движение в противоположных направлениях

При движении в противоположных направлениях автомобили едут навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встречаются каждые 8 минут. За это время суммарное расстояние, которое они проезжают, равно длине одного круга $S$. Составим второе уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot 8$

Отсюда сумма скоростей равна:

$v_1 + v_2 = S / 8$

3. Решение системы уравнений и нахождение времени

Мы получили систему из двух линейных уравнений для скоростей $v_1$ и $v_2$:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = S/8 \\ v_1 - v_2 = S/56 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти скорость первого автомобиля $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = S/8 + S/56$

$2v_1 = 7S/56 + S/56 = 8S/56 = S/7$

$v_1 = S/14$

Теперь можем найти время $t_1$, за которое первый автомобиль проезжает всю трассу:

$t_1 = S / v_1 = S / (S/14) = 14$ минут.

Далее, вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти скорость второго автомобиля $v_2$:

$(v_1 + v_2) - (v_1 - v_2) = S/8 - S/56$

$2v_2 = 7S/56 - S/56 = 6S/56 = 3S/28$

$v_2 = 3S/56$

Найдем время $t_2$, за которое второй автомобиль проезжает всю трассу:

$t_2 = S / v_2 = S / (3S/56) = 56/3$ минуты.

Дробное значение времени можно перевести в минуты и секунды: $56/3 = 18 \frac{2}{3}$ минуты, что составляет 18 минут и 40 секунд.

Ответ: один автомобиль проезжает всю кольцевую трассу за 14 минут, а второй – за $56/3$ минуты (18 минут 40 секунд).

767. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

Обозначим длину замкнутой дорожки как $S$. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго спортсмена, а $t_1$ и $t_2$ — время, за которое они пробегают один круг соответственно. Без ограничения общности, пусть первый спортсмен будет быстрее второго, то есть $v_1 > v_2$. Следовательно, время на пробег одного круга у первого спортсмена меньше: $t_1 < t_2$.

Из условия задачи известно, что один спортсмен тратит на пробег всей дорожки на 5 секунд меньше другого. Согласно нашему предположению:$t_2 - t_1 = 5 \text{ с}$Скорости спортсменов можно выразить через длину дорожки и время одного круга:$v_1 = \frac{S}{t_1}$ и $v_2 = \frac{S}{t_2}$

Когда спортсмены бегут в одном направлении, их относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна разности их скоростей: $v_{отн1} = v_1 - v_2$. Они окажутся рядом, когда более быстрый спортсмен обгонит медленного на один полный круг. Время до этой встречи дано в условии и равно 30 с. За это время быстрый спортсмен пробегает на один круг ($S$) больше, чем медленный.$S = v_{отн1} \cdot 30 = (v_1 - v_2) \cdot 30$

Подставим выражения для скоростей в это уравнение:$S = \left(\frac{S}{t_1} - \frac{S}{t_2}\right) \cdot 30$Так как длина дорожки $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$1 = \left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right) \cdot 30$$\frac{1}{30} = \frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $t_1$ и $t_2$:

$\begin{cases}t_2 - t_1 = 5 \\\frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{30}\end{cases}$

Подставим значение $t_2 - t_1 = 5$ во второе уравнение:$\frac{5}{t_1 t_2} = \frac{1}{30}$Отсюда получаем:$t_1 t_2 = 5 \cdot 30 = 150$

Теперь решим систему:$\begin{cases}t_2 - t_1 = 5 \\t_1 t_2 = 150\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_2 = t_1 + 5$ и подставим во второе:$t_1 (t_1 + 5) = 150$$t_1^2 + 5t_1 - 150 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 = 25^2$$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{2}$Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:$t_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ с}$Тогда время второго спортсмена:$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ с}$

Теперь найдем время, через которое спортсмены встретятся, если побегут в противоположных направлениях. В этом случае их относительная скорость будет равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = v_1 + v_2$. Они встретятся, когда суммарное расстояние, которое они пробегут, будет равно длине одного круга $S$. Пусть время до встречи в этом случае будет $t_{встр}$.$S = v_{отн2} \cdot t_{встр} = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$Отсюда:$t_{встр} = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Подставим выражения для скоростей:$t_{встр} = \frac{S}{\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$Теперь подставим найденные значения $t_1 = 10$ с и $t_2 = 15$ с:$t_{встр} = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15}} = \frac{1}{\frac{3}{30} + \frac{2}{30}} = \frac{1}{\frac{5}{30}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \text{ с}$

Ответ: 6 с.

768. Пешеход и велосипедист отправляются из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно. Прибыв в пункт $B$, велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта $A$, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдёт путь от $A$ до $B$?

Обозначим расстояние между пунктами А и B как $S$, скорость пешехода как $v_п$, а скорость велосипедиста как $v_в$. Время будем измерять в минутах. Нам нужно найти время, за которое пешеход пройдет путь от А до В, то есть величину $T_п = S / v_п$.

Первая встреча.
Пешеход и велосипедист движутся 20 минут до первой встречи. За это время пешеход проходит расстояние $S_1 = v_п \cdot 20$. Велосипедист за это же время успевает доехать до пункта B (пройдя путь $S$) и вернуться назад до места встречи. Расстояние, которое он проехал от B обратно, равно $S - S_1$. Таким образом, суммарное расстояние, которое они вместе преодолели, равно полному пути от А до B и обратно, то есть $2S$. Запишем это в виде уравнения: $v_п \cdot 20 + v_в \cdot 20 = 2S$ Разделив обе части на 2, получим: $10(v_п + v_в) = S$ (1)

Вторая встреча (догон).
Вторая встреча происходит через 10 минут после первой. Это значит, что с момента старта прошло $20 + 10 = 30$ минут. За 30 минут пешеход прошел расстояние $S_2 = v_п \cdot 30$. За это же время велосипедист доехал до B, вернулся к месту первой встречи, доехал до A, снова развернулся и догнал пешехода. Путь, пройденный велосипедистом, складывается из пути от A до B ($S$), пути от B до A ($S$) и пути от A до точки, где он догнал пешехода ($S_2$). Общий путь велосипедиста равен $S + S + S_2 = 2S + 30v_п$. Этот путь он проделал за 30 минут, значит: $v_в \cdot 30 = 2S + 30v_п$ Перенесем $30v_п$ в левую часть: $30(v_в - v_п) = 2S$ Разделив обе части на 2, получим: $15(v_в - v_п) = S$ (2)

Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть два выражения для $S$. Приравняем их: $10(v_п + v_в) = 15(v_в - v_п)$ Разделим обе части на 5: $2(v_п + v_в) = 3(v_в - v_п)$ Раскроем скобки: $2v_п + 2v_в = 3v_в - 3v_п$ Сгруппируем слагаемые с $v_п$ и $v_в$: $2v_п + 3v_п = 3v_в - 2v_в$ $5v_п = v_в$ Мы выяснили, что скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода.

Нахождение времени пешехода.
Теперь подставим найденное соотношение $v_в = 5v_п$ в любое из уравнений для $S$, например, в первое: $S = 10(v_п + v_в) = 10(v_п + 5v_п) = 10(6v_п) = 60v_п$. Время, которое требуется пешеходу, чтобы пройти путь $S$, равно: $T_п = S / v_п = (60v_п) / v_п = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.