Страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

777. С помощью калькулятора найти корни уравнения:

1) $x^2 - 62x - 7503 = 0;$

2) $x^2 + 181x + 5412 = 0;$

3) $x^2 - 9,7x + 21,42 = 0;$

4) $x^2 + 1,5x - 62,85 = 0.$

1) $x^2 - 62x - 7503 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -62$, $c = -7503$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7503) = 3844 + 30012 = 33856$.

С помощью калькулятора найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{33856} = 184$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-62) + 184}{2 \cdot 1} = \frac{62 + 184}{2} = \frac{246}{2} = 123$.

$x_2 = \frac{-(-62) - 184}{2 \cdot 1} = \frac{62 - 184}{2} = \frac{-122}{2} = -61$.

Ответ: $x_1 = 123, x_2 = -61$.

2) $x^2 + 181x + 5412 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 181$, $c = 5412$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 181^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5412 = 32761 - 21648 = 11113$.

С помощью калькулятора найдем корень из дискриминанта. Округлим результат до четырех знаков после запятой для большей точности в последующих расчетах:

$\sqrt{D} = \sqrt{11113} \approx 105,4182$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-181 + 105,4182}{2} = \frac{-75,5818}{2} = -37,7909$.

$x_2 = \frac{-181 - 105,4182}{2} = \frac{-286,4182}{2} = -143,2091$.

Округлим полученные значения до двух знаков после запятой.

Ответ: $x_1 \approx -37,79, x_2 \approx -143,21$.

3) $x^2 - 9,7x + 21,42 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = -9,7$, $c = 21,42$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9,7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21,42 = 94,09 - 85,68 = 8,41$.

С помощью калькулятора найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{8,41} = 2,9$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9,7) + 2,9}{2 \cdot 1} = \frac{9,7 + 2,9}{2} = \frac{12,6}{2} = 6,3$.

$x_2 = \frac{-(-9,7) - 2,9}{2 \cdot 1} = \frac{9,7 - 2,9}{2} = \frac{6,8}{2} = 3,4$.

Ответ: $x_1 = 6,3, x_2 = 3,4$.

4) $x^2 + 1,5x - 62,85 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 1,5$, $c = -62,85$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (1,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-62,85) = 2,25 + 251,4 = 253,65$.

С помощью калькулятора найдем корень из дискриминанта. Округлим результат до четырех знаков после запятой:

$\sqrt{D} = \sqrt{253,65} \approx 15,9264$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1,5 + 15,9264}{2} = \frac{14,4264}{2} = 7,2132$.

$x_2 = \frac{-1,5 - 15,9264}{2} = \frac{-17,4264}{2} = -8,7132$.

Округлим полученные значения до двух знаков после запятой.

Ответ: $x_1 \approx 7,21, x_2 \approx -8,71$.

778. (Задача Диофанта) Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Найти это число.

Обозначим искомое число переменной $x$. Согласно условию задачи, стороны прямоугольного треугольника связаны с этим числом следующим образом:

• Один катет ($a$) равен кубу числа: $a = x^3$.
• Второй катет ($b$) равен разности между кубом числа и самим числом: $b = x^3 - x$.
• Гипотенуза ($c$) равна сумме куба числа и самого числа: $c = x^3 + x$.

Поскольку длины сторон треугольника должны быть положительными, наложим ограничения на $x$:

• $a > 0 \Rightarrow x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$.
• $b > 0 \Rightarrow x^3 - x > 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) > 0 \Rightarrow x(x-1)(x+1) > 0$.

Решая систему неравенств, получаем, что $x$ должен быть строго больше 1, то есть $x > 1$.

Для любого прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для сторон в эту формулу:

$(x^3)^2 + (x^3 - x)^2 = (x^3 + x)^2$

Перенесем один из членов в правую часть для удобства вычислений:

$(x^3)^2 = (x^3 + x)^2 - (x^3 - x)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x^3+x$ и $B = x^3-x$.

$x^6 = ((x^3 + x) - (x^3 - x)) \cdot ((x^3 + x) + (x^3 - x))$

$x^6 = (x^3 + x - x^3 + x) \cdot (x^3 + x + x^3 - x)$

$x^6 = (2x) \cdot (2x^3)$

$x^6 = 4x^4$

Теперь решим полученное уравнение:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:

1. $x^4 = 0 \implies x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 1$.
2. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$.

Из этих двух корней только $x=2$ удовлетворяет условию $x > 1$. Значение $x = -2$ не подходит.

Таким образом, искомое число равно 2. Проверим это, найдя длины сторон треугольника:

• Катет $a = 2^3 = 8$.
• Катет $b = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.
• Гипотенуза $c = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Проверка по теореме Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Равенство $100 = 100$ выполняется.

Ответ: 2.

779. (Задача Диофанта) Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления.

Для решения этой задачи введем переменные, которые будут обозначать части числа 100 после каждого из двух делений, и составим систему уравнений на основе условий, приведенных в задаче.

Введение переменных

Пусть первое деление числа 100 дает две части: $x_1$ (большая часть) и $y_1$ (меньшая часть). Тогда справедливо равенство: $x_1 + y_1 = 100$, где $x_1 > y_1$.

Аналогично, пусть второе деление числа 100 дает две части: $x_2$ (большая часть) и $y_2$ (меньшая часть). Тогда справедливо равенство: $x_2 + y_2 = 100$, где $x_2 > y_2$.

Составление уравнений по условиям задачи

Из первого условия «большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления» следует уравнение:
$x_1 = 2y_2$

Из второго условия «большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления» следует уравнение:
$x_2 = 3y_1$

Решение системы уравнений

Объединим все четыре соотношения в систему уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + y_1 = 100 \\ x_2 + y_2 = 100 \\ x_1 = 2y_2 \\ x_2 = 3y_1 \end{cases} $

Выразим $y_1$ и $y_2$ из первых двух уравнений: $y_1 = 100 - x_1$ и $y_2 = 100 - x_2$. Подставим эти выражения в третье и четвертое уравнения:
$x_1 = 2(100 - x_2) \implies x_1 = 200 - 2x_2$
$x_2 = 3(100 - x_1) \implies x_2 = 300 - 3x_1$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 200 \\ 3x_1 + x_2 = 300 \end{cases} $
Для решения этой системы умножим второе уравнение на 2: $6x_1 + 2x_2 = 600$. Теперь вычтем из него первое уравнение:
$(6x_1 + 2x_2) - (x_1 + 2x_2) = 600 - 200$
$5x_1 = 400$
$x_1 = \frac{400}{5} = 80$

Зная $x_1$, последовательно находим остальные неизвестные:
$y_1 = 100 - x_1 = 100 - 80 = 20$
Подставим $y_1$ в уравнение $x_2 = 3y_1$:
$x_2 = 3 \cdot 20 = 60$
$y_2 = 100 - x_2 = 100 - 60 = 40$

Таким образом, мы нашли все четыре части.
Первое деление: $x_1 = 80$, $y_1 = 20$.
Второе деление: $x_2 = 60$, $y_2 = 40$.

Проверка

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:
1. Большая часть от первого деления ($80$) вдвое больше меньшей части от второго деления ($40$): $80 = 2 \cdot 40$. Верно.
2. Большая часть от второго деления ($60$) втрое больше меньшей части от первого деления ($20$): $60 = 3 \cdot 20$. Верно.
Все условия выполнены.

Ответ: Первое деление разбивает число 100 на части 80 и 20. Второе деление разбивает число 100 на части 60 и 40.

780. (Индийская задача)

Показать, что

$\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.$

Для доказательства данного тождества возведем обе его части в квадрат. Так как обе части равенства положительны (корень из положительного числа и сумма корней из положительных чисел), то равенство их квадратов будет равносильно исходному равенству.

Сначала возведем в квадрат правую часть равенства: $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$.
Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$
$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$
$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Теперь рассмотрим левую часть. Возведение ее в квадрат дает подкоренное выражение:
$(\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}})^2 = 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$.

Упростим корни в этом выражении, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$
$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставим упрощенные значения обратно. Выражение для квадрата левой части принимает вид:
$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Мы видим, что квадраты левой и правой частей исходного равенства равны:
$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Так как обе части исходного равенства положительны и их квадраты равны, то и сами выражения равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем возведения обеих его частей в квадрат и показа того, что получившиеся выражения тождественно равны.

781. (Задача О. Хайяма) Решить уравнение $\frac{1}{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1\frac{1}{4}$

Решение

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1\frac{1}{4} $.

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в знаменателе находится переменная $x$, она не может быть равна нулю: $x \ne 0$.

Преобразуем правую часть уравнения из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Уравнение принимает вид: $ \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - \frac{5}{4} = 0 $

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменной. Пусть $ y = \frac{1}{x} $. Тогда $y^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$. Подставим новую переменную в уравнение: $ y^2 + 2y - \frac{5}{4} = 0 $

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 4: $ 4y^2 + 8y - 5 = 0 $

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: $ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} $

Мы нашли значения для $y$, теперь нужно вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $x = \frac{1}{y}$.

Для первого корня $y_1 = \frac{1}{2}$:
$ x_1 = \frac{1}{y_1} = \frac{1}{1/2} = 2 $

Для второго корня $y_2 = -\frac{5}{2}$:
$ x_2 = \frac{1}{y_2} = \frac{1}{-5/2} = -\frac{2}{5} $

Оба найденных значения $x_1=2$ и $x_2=-2/5$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$), следовательно, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $2; -0,4$.

782. (Задача ал-Караджи) Найти число, которое от умножения на $3+\sqrt{5}$ даёт 1.

Пусть искомое число равно $x$. Согласно условию задачи, произведение этого числа на $3 + \sqrt{5}$ должно быть равно 1. Составим уравнение:

$x \cdot (3 + \sqrt{5}) = 1$

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения, разделив обе части на $(3 + \sqrt{5})$:

$x = \frac{1}{3 + \sqrt{5}}$

Полученное выражение содержит иррациональность в знаменателе. Чтобы избавиться от нее, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $(3 + \sqrt{5})$ является $(3 - \sqrt{5})$.

$x = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5}) \cdot (3 - \sqrt{5})}$

В знаменателе дроби мы получили произведение суммы и разности двух чисел, которое равно разности их квадратов, согласно формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + \sqrt{5}) \cdot (3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

Подставим полученное значение в знаменатель нашего выражения для $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, искомое число найдено.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

783. (Задача Л. Эйлера) Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них $6\frac{2}{3}$ крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:
Пусть $n_1$ — количество яиц у первой крестьянки, а $n_2$ — количество яиц у второй.
Пусть $p_1$ — цена за одно яйцо у первой крестьянки, а $p_2$ — цена за одно яйцо у второй.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Всего крестьянки принесли 100 яиц: $n_1 + n_2 = 100$
2. Они выручили одинаковые суммы денег. Обозначим эту сумму как $S$. Тогда: $S = n_1 \cdot p_1 = n_2 \cdot p_2$
3. Слова первой крестьянки: «Будь у меня твои яйца ($n_2$), я выручила бы 15 крейцеров». Это означает, что если бы первая крестьянка продала яйца второй по своей цене ($p_1$), она бы получила 15 крейцеров: $n_2 \cdot p_1 = 15$
4. Слова второй крестьянки: «А будь твои яйца ($n_1$) у меня, я выручила бы за них $6 \frac{2}{3}$ крейцера». Это означает, что если бы вторая крестьянка продала яйца первой по своей цене ($p_2$), она бы получила $6 \frac{2}{3}$ крейцера: $n_1 \cdot p_2 = 6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$

Теперь приступим к решению полученной системы.
Из уравнения (3) выразим цену $p_1$: $p_1 = \frac{15}{n_2}$.
Из уравнения (4) выразим цену $p_2$: $p_2 = \frac{20}{3n_1}$.

Подставим эти выражения для цен в уравнение (2) $n_1 \cdot p_1 = n_2 \cdot p_2$:
$n_1 \cdot \left(\frac{15}{n_2}\right) = n_2 \cdot \left(\frac{20}{3n_1}\right)$

Упростим полученное равенство:
$\frac{15n_1}{n_2} = \frac{20n_2}{3n_1}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) для данного уравнения:
$15n_1 \cdot 3n_1 = 20n_2 \cdot n_2$
$45n_1^2 = 20n_2^2$

Разделим обе части уравнения на 5:
$9n_1^2 = 4n_2^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку количество яиц $n_1$ и $n_2$ — величины положительные, мы берем только арифметические (положительные) корни:
$\sqrt{9n_1^2} = \sqrt{4n_2^2}$
$3n_1 = 2n_2$

Из этого соотношения мы можем выразить $n_2$ через $n_1$:
$n_2 = \frac{3}{2}n_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение (1) $n_1 + n_2 = 100$:
$n_1 + \frac{3}{2}n_1 = 100$
$\frac{2n_1 + 3n_1}{2} = 100$
$\frac{5n_1}{2} = 100$

Отсюда находим $n_1$:
$5n_1 = 200$
$n_1 = \frac{200}{5} = 40$

Теперь найдем $n_2$, используя уравнение (1):
$n_2 = 100 - n_1 = 100 - 40 = 60$

Таким образом, у первой крестьянки было 40 яиц, а у второй — 60. Это согласуется с условием, что у одной было больше яиц, чем у другой.

Проверка:
Найдем цены, по которым продавались яйца.
Цена первой крестьянки: $p_1 = \frac{15}{n_2} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ крейцера за яйцо.
Цена второй крестьянки: $p_2 = \frac{20}{3n_1} = \frac{20}{3 \cdot 40} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ крейцера за яйцо.
Выручка первой крестьянки: $S_1 = n_1 \cdot p_1 = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10$ крейцеров.
Выручка второй крестьянки: $S_2 = n_2 \cdot p_2 = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ крейцеров.
Выручки равны ($S_1=S_2$), все условия задачи выполнены.

Ответ: У первой крестьянки было 40 яиц, а у второй — 60 яиц.

784. (Задача Э. Безу) Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Для решения этой задачи обозначим первоначальную стоимость лошади, за которую ее купили, через $x$ (в пистолях).

Согласно условию, лошадь была продана за 24 пистоля. При этой продаже владелец потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь, то есть он потерял $x\%$.

Сумму потери (убытка) можно выразить двумя способами.
С одной стороны, убыток — это разница между ценой покупки и ценой продажи: $x - 24$.
С другой стороны, убыток составляет $x\%$ от первоначальной цены $x$. В денежном выражении это составляет: $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.

Приравняем оба выражения для суммы убытка, чтобы составить уравнение:
$x - 24 = \frac{x^2}{100}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от дроби:
$100 \cdot (x - 24) = x^2$
$100x - 2400 = x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$x_2 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Мы получили два возможных значения для первоначальной стоимости лошади. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба корня условию задачи.
1. Если первоначальная цена была 40 пистолей ($x=40$), то процент потерь составил 40%. Сумма потери: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей. Цена продажи в этом случае: $40 - 16 = 24$ пистоля. Это соответствует условию задачи.
2. Если первоначальная цена была 60 пистолей ($x=60$), то процент потерь составил 60%. Сумма потери: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей. Цена продажи в этом случае: $60 - 36 = 24$ пистоля. Это также соответствует условию задачи.

Оба решения являются верными.

Ответ: Он купил лошадь за 40 пистолей или за 60 пистолей.