Номер 779, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 779, страница 272.

Условие.

779. (Задача Диофанта) Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменные, которые будут обозначать части числа 100 после каждого из двух делений, и составим систему уравнений на основе условий, приведенных в задаче.

Введение переменных

Пусть первое деление числа 100 дает две части: $x_1$ (большая часть) и $y_1$ (меньшая часть). Тогда справедливо равенство: $x_1 + y_1 = 100$, где $x_1 > y_1$.

Аналогично, пусть второе деление числа 100 дает две части: $x_2$ (большая часть) и $y_2$ (меньшая часть). Тогда справедливо равенство: $x_2 + y_2 = 100$, где $x_2 > y_2$.

Составление уравнений по условиям задачи

Из первого условия «большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления» следует уравнение:
$x_1 = 2y_2$

Из второго условия «большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления» следует уравнение:
$x_2 = 3y_1$

Решение системы уравнений

Объединим все четыре соотношения в систему уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + y_1 = 100 \\ x_2 + y_2 = 100 \\ x_1 = 2y_2 \\ x_2 = 3y_1 \end{cases} $

Выразим $y_1$ и $y_2$ из первых двух уравнений: $y_1 = 100 - x_1$ и $y_2 = 100 - x_2$. Подставим эти выражения в третье и четвертое уравнения:
$x_1 = 2(100 - x_2) \implies x_1 = 200 - 2x_2$
$x_2 = 3(100 - x_1) \implies x_2 = 300 - 3x_1$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 200 \\ 3x_1 + x_2 = 300 \end{cases} $
Для решения этой системы умножим второе уравнение на 2: $6x_1 + 2x_2 = 600$. Теперь вычтем из него первое уравнение:
$(6x_1 + 2x_2) - (x_1 + 2x_2) = 600 - 200$
$5x_1 = 400$
$x_1 = \frac{400}{5} = 80$

Зная $x_1$, последовательно находим остальные неизвестные:
$y_1 = 100 - x_1 = 100 - 80 = 20$
Подставим $y_1$ в уравнение $x_2 = 3y_1$:
$x_2 = 3 \cdot 20 = 60$
$y_2 = 100 - x_2 = 100 - 60 = 40$

Таким образом, мы нашли все четыре части.
Первое деление: $x_1 = 80$, $y_1 = 20$.
Второе деление: $x_2 = 60$, $y_2 = 40$.

Проверка

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:
1. Большая часть от первого деления ($80$) вдвое больше меньшей части от второго деления ($40$): $80 = 2 \cdot 40$. Верно.
2. Большая часть от второго деления ($60$) втрое больше меньшей части от первого деления ($20$): $60 = 3 \cdot 20$. Верно.
Все условия выполнены.

Ответ: Первое деление разбивает число 100 на части 80 и 20. Второе деление разбивает число 100 на части 60 и 40.